微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = e^{x^{2}}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int - 2 x d x}$

解题步骤 1.2

对 $- 2 x$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$e^{- 2 \int x d x}$

解题步骤 1.2.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2

化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$e^{- x^{2} + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{- x^{2}}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{- x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{- x^{2}}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} e^{x^{2}}$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} e^{x^{2}}$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $e^{- x^{2}}$ 乘以 $e^{x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2} + x^{2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{0}$

解题步骤 2.4

化简 $e^{0}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 1$

解题步骤 2.5

将 $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 1$ 中的因式重新排序。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 1$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 1$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{- x^{2}} y = \int d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$e^{- x^{2}} y = x + C$

解题步骤 7

将 $e^{- x^{2}} y = x + C$ 中的每一项除以 $e^{- x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{- x^{2}} y = x + C$ 中的每一项都除以 $e^{- x^{2}}$ 。

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{- x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

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