微积分学示例

$8 y \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1

重写该方程。

$8 y d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 8 y d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $8$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int y d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x d x$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 重写为 $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 。

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{4} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.1.3.1.3

合并。

$y^{2} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.1.3.1.4

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$

解题步骤 3.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要将 $\frac{K}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4} \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $\frac{K}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{8}}$

解题步骤 3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + K \cdot 2}{8}}$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{8}}$

解题步骤 3.3.5

将 $\frac{x^{2} + 2 K}{8}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

从 $x^{2} + 2 K$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{8}}$

解题步骤 3.3.5.2

从 $8$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

解题步骤 3.3.6

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

解题步骤 3.3.7

将 $\sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.8

合并。

$y = \pm \frac{1 \sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.9

将 $\sqrt{x^{2} + 2 K}$ 乘以 $1$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.10

将 $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.11

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.11.1

将 $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.11.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 3.3.11.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 3.3.11.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 3.3.11.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.11.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.3.11.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.3.11.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.3.11.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.11.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.11.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.11.7.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.11.7.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 3.3.11.7.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.12

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.13

化简表达式。

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解题步骤 3.3.13.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 3.3.13.2

将 $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

微积分学 示例

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