微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - \frac{9}{\sin (y)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

分离分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{\sin (y)}$ 转换成 $\csc (y)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \csc (y))$

解题步骤 1.1.3

用 $9$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (9 \csc (y))$

解题步骤 1.1.4

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

解题步骤 1.1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.1

分离分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

解题步骤 1.1.5.2

将 $\frac{1}{\sin (y)}$ 转换成 $\csc (y)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \csc (y) - 9 \csc (y)$

解题步骤 1.1.5.3

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \csc (y) - 9 \csc (y)$

解题步骤 1.1.6

从 $x \csc (y) - 9 \csc (y)$ 中分解出因数 $\csc (y)$ 。

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解题步骤 1.1.6.1

从 $x \csc (y)$ 中分解出因数 $\csc (y)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x - 9 \csc (y)$

解题步骤 1.1.6.2

从 $- 9 \csc (y)$ 中分解出因数 $\csc (y)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$

解题步骤 1.1.6.3

从 $\csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$ 中分解出因数 $\csc (y)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) (x - 9)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\csc (y)}$ 。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

解题步骤 1.3

约去 $\csc (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = x - 9$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\csc (y)} d y = (x - 9) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int x - 9 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\csc (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int x - 9 d x$

解题步骤 2.2.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (y)}$ 。

$\int 1 \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$\int \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

解题步骤 2.2.2

$\sin (y)$ 对 $y$ 的积分为 $- \cos (y)$ 。

$- \cos (y) + C_{1} = \int x - 9 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- \cos (y) + C_{1} = \int x d x + \int - 9 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 9 d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 9 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $\cos (y)$ 除以 $1$ 。

$\cos (y) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

移动 $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (y) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ 重写为 $- (\frac{1}{2} x^{2})$ 。

$\cos (y) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.4

移动 $\frac{- 9 x}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.5

将 $- 1 \cdot (- 9 x)$ 重写为 $- (- 9 x)$ 。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.6

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.7

移动 $\frac{K}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - 1 \cdot K$

解题步骤 3.1.3.1.8

将 $- 1 \cdot K$ 重写为 $- K$ 。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K$

解题步骤 3.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K)$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x + K)$

微积分学 示例

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