微积分学示例

$\frac{2 x}{y} d x - \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{2 x}{y} d x$ 。

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = - \frac{2 x}{y} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{y}{x^{2}}$ 。

$\frac{y}{x^{2}} (- \frac{x^{2}}{y^{2}}) d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

解题步骤 3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{y}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

解题步骤 3.2.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

解题步骤 3.2.3

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

解题步骤 3.2.4

约去公因数。

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

解题步骤 3.2.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

解题步骤 3.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

解题步骤 3.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- \frac{y}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

解题步骤 3.5.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

解题步骤 3.5.3

约去公因数。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

解题步骤 3.5.4

重写表达式。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) d x$

解题步骤 3.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) d x$

解题步骤 3.6.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

解题步骤 3.6.3

约去公因数。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

解题步骤 3.6.4

重写表达式。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} \cdot 2 d x$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{- 1}{x}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1 \cdot 2}{x} d x$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

解题步骤 3.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.5

化简。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$- \ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

解题步骤 5.2.1.2

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$- \ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $\ln (x^{2})$ 。

$- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$

解题步骤 5.4

将 $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.2.2

用 $\ln (| y |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (x^{2})}{1}$

解题步骤 5.4.3.1.4

用 $\ln (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = - C + \ln (x^{2})$

解题步骤 5.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - \ln (x^{2}) = - C$

解题步骤 5.6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$

解题步骤 5.7

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{2}})} = e^{- C}$

解题步骤 5.8

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- C} = \frac{| y |}{x^{2}}$

解题步骤 5.9

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.9.1

将方程重写为 $\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$ 。

$\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$

解题步骤 5.9.2

两边同时乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

解题步骤 5.9.3

化简。

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解题步骤 5.9.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.9.3.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

解题步骤 5.9.3.1.1.2

重写表达式。

$| y | = e^{- C} x^{2}$

解题步骤 5.9.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.9.3.2.1

将 $e^{- C} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$| y | = x^{2} e^{- C}$

解题步骤 5.9.4

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm x^{2} e^{- C}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

化简积分常数。

$y = \pm x^{2} C$

解题步骤 6.2

用加号或减号合并常数。

$y = C x^{2}$

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