微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + x y = \frac{x}{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $x y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - x y$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $\frac{x}{y} - x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $\frac{x}{y}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} - x y$

解题步骤 1.2.1.2

从 $- x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$

解题步骤 1.2.1.3

从 $x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - 1 y)$

解题步骤 1.2.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y)$

解题步骤 1.2.3

要将 $- y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y \cdot \frac{y}{y})$

解题步骤 1.2.4

组合 $- y$ 和 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} + \frac{- y \cdot y}{y})$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1 - y \cdot y}{y}$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y \cdot y}{y}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $y \cdot y$ 重写为 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y^{2}}{y}$

解题步骤 1.2.6.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = y$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{y}{(1 + y) (1 - y)}$ 。

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} (x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

组合 $x$ 和 $\frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$ 。

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

解题步骤 1.4.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

约去公因数。

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

解题步骤 1.4.2.2

重写表达式。

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} (x ((1 + y) (1 - y)))$

解题步骤 1.4.3

约去 $(1 + y) (1 - y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

从 $x ((1 + y) (1 - y))$ 中分解出因数 $(1 + y) (1 - y)$ 。

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) (x))$

解题步骤 1.4.3.2

约去公因数。

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) x)$

解题步骤 1.4.3.3

重写表达式。

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = (1 + y) (1 - y)$ 。然后使 $d u = - 2 y d y$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = y d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = (1 + y) (1 - y)$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $(1 + y) (1 - y)$ 求导。

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

解题步骤 2.2.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = 1 + y$ 且 $g (y) = 1 - y$ 。

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

根据加法法则， $1 - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y]$ 相加。

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.6.2

将 $- 1$ 移到 $1 + y$ 的左侧。

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.6.3

将 $- 1 (1 + y)$ 重写为 $- (1 + y)$ 。

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.7

根据加法法则， $1 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.2.1.1.3.8

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.2.1.1.3.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y]$ 相加。

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.1.3.11

将 $1 - y$ 乘以 $1$ 。

$- (1 + y) + 1 - y$

解题步骤 2.2.1.1.4

化简。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

运用分配律。

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

合并项。

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解题步骤 2.2.1.1.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - y + 1 - y$

解题步骤 2.2.1.1.4.2.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- y + 0 - y$

解题步骤 2.2.1.1.4.2.3

将 $- y$ 和 $0$ 相加。

$- y - y$

解题步骤 2.2.1.1.4.2.4

从 $- y$ 中减去 $y$ 。

$- 2 y$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.2.3

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $(1 + y) (1 - y)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + y) (1 - y)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1.1

运用分配律。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.1.2

运用分配律。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.1.3

运用分配律。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.2

将 $- y$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.5.1

移动 $y$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.3

组合 $\ln (| 1 - y^{2} |)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.4.1

将 $- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.4.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.4.4

重写表达式。

$- - \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.5

乘。

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解题步骤 3.2.1.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.5.2

将 $\ln (| 1 - y^{2} |)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去公因数。

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

重写表达式。

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 1 - y^{2} |)} = e^{- x^{2} - 2 C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- x^{2} - 2 C} = | 1 - y^{2} |$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$ 。

$| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$

解题步骤 3.5.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 - y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C}$

解题步骤 3.5.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$

解题步骤 3.5.4

将 $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.5.4.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.3.1.1

移动 $\frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.5.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ 重写为 $- (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ 。

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.5.4.3.1.3

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1$

解题步骤 3.5.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} + C}) + 1}$

解题步骤 4.2

将 $e^{- x^{2} + C}$ 重写为 $e^{- x^{2}} e^{C}$ 。

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 1}$

解题步骤 4.3

将 $e^{- x^{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 1}$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$y = \pm \sqrt{- (C e^{- x^{2}}) + 1}$

微积分学 示例

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