微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cdot \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

合并。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.2

约去 $\cos^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 1.2.5

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 转换成 $\sec^{2} (y)$ 。

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.2

因为 $\tan (y)$ 的导数为 $\sec^{2} (y)$ ，所以 $\sec^{2} (y)$ 的积分为 $\tan (y)$ 。

$\tan (y) + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 2.3

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$\tan (y) + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- \cot (x) + K = \tan (y)$ 。

$- \cot (x) + K = \tan (y)$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \cot (x) = \tan (y) - K$

解题步骤 3.3

将 $- \cot (x) = \tan (y) - K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \cot (x) = \tan (y) - K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cot (x)}{- 1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cot (x)}{1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.2

用 $\cot (x)$ 除以 $1$ 。

$\cot (x) = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

移动 $\frac{\tan (y)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cot (x) = - 1 \cdot \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $- 1 \cdot \tan (y)$ 重写为 $- \tan (y)$ 。

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{K}{1}$

解题步骤 3.3.3.1.4

用 $K$ 除以 $1$ 。

$\cot (x) = - \tan (y) + K$

解题步骤 3.4

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $y$ 。

$x = arccot (- \tan (y) + K)$

解题步骤 3.5

将方程重写为 $arccot (- \tan (y) + K) = x$ 。

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

解题步骤 3.6

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

解题步骤 3.7

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

解题步骤 3.8

将 $- \tan (y) = \cot (x) - K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.8.1

将 $- \tan (y) = \cot (x) - K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.8.2

化简左边。

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解题步骤 3.8.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.8.2.2

用 $\tan (y)$ 除以 $1$ 。

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.8.3

化简右边。

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解题步骤 3.8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.3.1.1

移动 $\frac{\cot (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.8.3.1.2

将 $- 1 \cdot \cot (x)$ 重写为 $- \cot (x)$ 。

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.8.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

解题步骤 3.8.3.1.4

用 $K$ 除以 $1$ 。

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

解题步骤 3.9

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$

解题步骤 3.10

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

解题步骤 3.11

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

解题步骤 3.12

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

解题步骤 3.13

将 $- \tan (y) = \cot (x) - K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.13.1

将 $- \tan (y) = \cot (x) - K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.13.2

化简左边。

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解题步骤 3.13.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.13.2.2

用 $\tan (y)$ 除以 $1$ 。

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.13.3

化简右边。

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解题步骤 3.13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.13.3.1.1

移动 $\frac{\cot (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.13.3.1.2

将 $- 1 \cdot \cot (x)$ 重写为 $- \cot (x)$ 。

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.13.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

解题步骤 3.13.3.1.4

用 $K$ 除以 $1$ 。

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

解题步骤 3.14

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$

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