微积分学示例

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \sin (t)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d s = (\frac{1}{t^{2}} + \sin (t)) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d s = \int \frac{1}{t^{2}} + \sin (t) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$s + C_{1} = \int \frac{1}{t^{2}} + \sin (t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$s + C_{1} = \int \frac{1}{t^{2}} d t + \int \sin (t) d t$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

通过将 $t^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$s + C_{1} = \int {(t^{2})}^{- 1} d t + \int \sin (t) d t$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(t^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$s + C_{1} = \int t^{2 \cdot - 1} d t + \int \sin (t) d t$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$s + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int \sin (t) d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t^{- 2}$ 对 $t$ 的积分是 $- t^{- 1}$ 。

$s + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int \sin (t) d t$

解题步骤 2.3.4

$\sin (t)$ 对 $t$ 的积分为 $- \cos (t)$ 。

$s + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} - \cos (t) + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

$s + C_{1} = - \frac{1}{t} - \cos (t) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$s = - \frac{1}{t} - \cos (t) + K$

微积分学 示例