微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 1}{x}$

解题步骤 1.2.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 1}{x}$

解题步骤 1.2.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{x}$

解题步骤 1.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

解题步骤 3.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y | | x |) = C$

解题步骤 3.3

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| y x |) = C$

解题步骤 3.4

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

解题步骤 3.5

使用对数的定义将 $\ln (| y x |) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = | y x |$

解题步骤 3.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $| y x | = e^{C}$ 。

$| y x | = e^{C}$

解题步骤 3.6.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y x = \pm e^{C}$

解题步骤 3.6.3

将 $y x = \pm e^{C}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $y x = \pm e^{C}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

解题步骤 3.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

解题步骤 3.6.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{C}{x}$

微积分学 示例

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