微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y^{2} - 1$ 。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

化简分母。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 1.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 1.2.2

将 $y^{2} - 1$ 乘以 $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$ 。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 1.2.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 1.2.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 1.2.4

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1

约去公因数。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 1.2.4.2

重写表达式。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

解题步骤 1.2.5

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

解题步骤 1.2.5.2

用 $x^{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(y^{2} - 1) d y = (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

微积分学 示例

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