微积分学示例

$(x + 4 y^{2}) d y + 2 (y d) x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

重写。

$2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x + 4 y^{2}$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x + 4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

解题步骤 3.4

因为 $4 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 = 1$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 = 1$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $2$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{1 - 2}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $2 y$ 替换 $M$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

代入 $2 y$ 替换 $M$ 。

$\frac{1 - 2}{2 y}$

解题步骤 5.3.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1}{2 y}$

解题步骤 5.3.3

代入 $2 y$ 替换 $M$ 。

$- \frac{1}{2 y}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 y} d y}$

解题步骤 6.2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 6.3

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 6.4

化简。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| y |)} + C$

解题步骤 6.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

乘以 $- \frac{1}{2} \ln (| y |)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1.1

将 $\ln (| y |)$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| y |))} + C$

解题步骤 6.5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})} + C$

解题步骤 6.5.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

解题步骤 6.5.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

解题步骤 6.5.4

将 ${({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

解题步骤 6.5.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

解题步骤 6.5.4.3

将负号移到分数的前面。

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{2}} + C$

解题步骤 6.5.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 7

在 $2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $2 y$ 乘以 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2

乘以 $2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$y \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2.2

组合 $y$ 和 $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y \cdot 2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$y \cdot 2 y^{- \frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.4.1

移动 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$y^{- \frac{1}{2}} y \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4.2

将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{- \frac{1}{2}} y^{1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4.4

在公分母上合并分子。

$y^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.5

将 $2$ 移到 $y^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.6

将 $x + 4 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

解题步骤 7.7

将 $x + 4 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 2 y^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.3.1

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y^{\frac{1}{2}} x$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.5

在公分母上合并分子。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.7

将负号移到分数的前面。

$2 x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 x \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.9

组合 $2$ 和 $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$x \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.10

组合 $x$ 和 $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.11

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.13

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3.14

重写表达式。

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1

化简 $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + 4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 13.1.1.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - (4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 13.1.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1.3.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2

从 $0$ 中减去 $4 y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1.4.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1.4.2.1

移动 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d g}{d y} - 4 (y^{- \frac{1}{2}} y^{2}) = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1.4.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{3}{2}} = 0$

解题步骤 13.1.2

在等式两边都加上 $4 y^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 14

求 $4 y^{\frac{3}{2}}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

解题步骤 14.3

由于 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$g (y) = 4 \int y^{\frac{3}{2}} d y$

解题步骤 14.4

根据幂法则， $y^{\frac{3}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ 。

$g (y) = 4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 14.5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1

将 $4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$ 。

$g (y) = 4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 14.5.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$g (y) = \frac{4 \cdot 2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 14.5.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$g (y) = \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 16

化简 $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

组合 $\frac{8}{5}$ 和 $y^{\frac{5}{2}}$ 。

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 16.2

将 $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = 2 x y^{\frac{1}{2}} + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

微积分学 示例

微积分学示例