微积分学示例

$(\cos (x) \sin (x) - x y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x) - x y^{2}]$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $\cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $\cos (x) \sin (x)$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\cos (x) \sin (x)$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

解题步骤 1.4

从 $0$ 中减去 $2 x y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (1 - x^{2})]$

解题步骤 2.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y (1 - x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- (2 x))$

解题步骤 2.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- 2 x)$

解题步骤 2.8.2

重新排序 $y (- 2 x)$ 的因式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $- 2 x y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 2 x y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 x y = - 2 x y$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$- 2 x y = - 2 x y$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int y (1 - x^{2}) d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

由于 $1 - x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $1 - x^{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \int y d y$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = (1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 5.3

将 $(1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.2

因为 $\frac{y^{2}}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ 。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.3

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.8

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.9

组合 $- 2$ 和 $\frac{y^{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.10

组合 $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.11

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.11.1

从 $- 2 y^{2} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.11.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.3.11.2.4

用 $- y^{2} x$ 除以 $1$ 。

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

在等式两边都加上 $y^{2} x$ 。

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$

解题步骤 9.1.2

合并 $\cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1

按照 $- x y^{2}$ 和 $y^{2} x$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - y^{2} x + y^{2} x$

解题步骤 9.1.2.2

将 $- y^{2} x$ 和 $y^{2} x$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) + 0$

解题步骤 9.1.2.3

将 $\cos (x) \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 10

求 $\cos (x) \sin (x)$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 10.3

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 10.3.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 10.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (x) = \int - u d u$

解题步骤 10.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (x) = - \int u d u$

解题步骤 10.5

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$g (x) = - (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 10.6

将 $- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ 。

$g (x) = - \frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 10.7

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

解题步骤 12

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

运用分配律。

$f (x, y) = (1 (\frac{1}{2}) - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

解题步骤 12.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

解题步骤 12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

解题步骤 12.4

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

解题步骤 12.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

解题步骤 12.6

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

解题步骤 12.7

组合 $\cos^{2} (x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{\cos^{2} (x)}{2} + C$

微积分学 示例

微积分学示例