微积分学示例

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

合并。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{3}{x} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{3}{x} + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$ 。

$| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{- \frac{3}{x} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- \frac{3}{x} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{- \frac{3}{x}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{3}{x}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- \frac{3}{x}}$

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