微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x y + x$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $x y + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (y) + x$

解题步骤 1.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = x (y) + x^{1}$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (y) + x \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

从 $x (y) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y + 1}$ 。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (x (y + 1))$

解题步骤 1.3

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $x (y + 1)$ 中分解出因数 $y + 1$ 。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) x)$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) x)$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y + 1} d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = y + 1$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | y + 1 |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ 。

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

解题步骤 3.3.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} - 1$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ 重写为 $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} - 1$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

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