微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{3}$

解题步骤 1

重写微分方程以符合伯努利方程。

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解题步骤 1.1

从 $\frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{3}$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$

解题步骤 2

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{3}$ 的指数。

$v = y^{- 2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 5

取 $v^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 5.1

取 $v^{- \frac{1}{2}}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 5.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

将 ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

解题步骤 5.5

化简。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 5.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.6.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 5.6.2

化简表达式。

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解题步骤 5.6.2.1

将 $v^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 5.6.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 5.6.2.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 5.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 5.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $v$ 。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.7.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.10

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.11

化简分子。

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解题步骤 5.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.12

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $v^{- \frac{1}{2}}$ 。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $v^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.15

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

解题步骤 5.16

组合 $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 和 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

解题步骤 5.17

将 $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ 重写为乘积形式。

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

解题步骤 5.18

将 $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{v}$ 。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

解题步骤 5.19

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 5.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.21

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.22

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 5.23

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

在原方程 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

解题步骤 7

求解代入的微分方程。

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解题步骤 7.1

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 中的每一项乘以 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 以消去分数。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 中的每一项乘以 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1

约去 $2 v^{\frac{3}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.2

从 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 中分解出因数 $2 v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5

通过指数相加将 $v^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 7.1.1.2.1.5.1

移动 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.6

化简 $- 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.8

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.10

组合 $v$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.11

将 $2$ 移到 $v$ 的左侧。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1 \cdot 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.3

将 ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.3.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.3.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.3.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.4

通过指数相加将 $v^{- \frac{3}{2}}$ 乘以 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.4.1

移动 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 7.1.1.3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3 - 3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.4

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{0}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.5

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{0}$

解题步骤 7.1.1.3.5

化简 $- 2 v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2$

解题步骤 7.1.2

从 $- \frac{2 v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 2$

解题步骤 7.1.3

将 $v$ 和 $- \frac{2}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 2$

解题步骤 7.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2

对 $- \frac{2}{x}$ 积分。

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解题步骤 7.2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 7.2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 7.2.2.5

化简。

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 7.2.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 \ln (x)}$

解题步骤 7.2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 2})}$

解题步骤 7.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 2}$

解题步骤 7.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 7.3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 7.3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $\frac{d v}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

解题步骤 7.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

解题步骤 7.3.2.3

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

解题步骤 7.3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.1

将 $\frac{2 v}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

解题步骤 7.3.2.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

解题步骤 7.3.2.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

解题步骤 7.3.2.4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

解题步骤 7.3.3

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{2}{x^{2}}$

解题步骤 7.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{2}{x^{2}}$

解题步骤 7.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 7.6

对左边积分。

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 7.7

对右边积分。

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解题步骤 7.7.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 7.7.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{x^{2}} v = - (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 7.7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.7.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 7.7.3.2

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.7.3.3

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.7.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.7.3.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{- 2} d x$

解题步骤 7.7.4

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 7.7.5

化简答案。

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解题步骤 7.7.5.1

将 $- 2 (- x^{- 1} + C)$ 重写为 $- 2 (- \frac{1}{x}) + C$ 。

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- \frac{1}{x}) + C$

解题步骤 7.7.5.2

化简。

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解题步骤 7.7.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} v = 2 \frac{1}{x} + C$

解题步骤 7.7.5.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{2}{x} + C$

解题步骤 7.8

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.8.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 7.8.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} = C$

解题步骤 7.8.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} - C = 0$

解题步骤 7.8.1.3

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $v$ 。

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{2}{x} - C = 0$

解题步骤 7.8.2

将所有不包含 $v$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.8.2.1

在等式两边都加上 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{2}{x}$

解题步骤 7.8.2.2

在等式两边都加上 $C$ 。

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} + C$

解题步骤 7.8.3

两边同时乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

解题步骤 7.8.4

化简。

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解题步骤 7.8.4.1

化简左边。

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解题步骤 7.8.4.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

解题步骤 7.8.4.1.1.2

重写表达式。

$v = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

解题步骤 7.8.4.2

化简右边。

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解题步骤 7.8.4.2.1

化简 $(\frac{2}{x} + C) x^{2}$ 。

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解题步骤 7.8.4.2.1.1

运用分配律。

$v = \frac{2}{x} x^{2} + C x^{2}$

解题步骤 7.8.4.2.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.4.2.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

解题步骤 7.8.4.2.1.2.2

约去公因数。

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

解题步骤 7.8.4.2.1.2.3

重写表达式。

$v = 2 x + C x^{2}$

解题步骤 7.8.4.2.1.3

将 $2 x$ 和 $C x^{2}$ 重新排序。

$v = C x^{2} + 2 x$

解题步骤 8

代入 $y^{- 2}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 2} = C x^{2} + 2 x$

微积分学 示例

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