微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$

解题步骤 1

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{2}$ 的指数。

$v = y^{- 1}$

解题步骤 2

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- 1}$

解题步骤 3

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- 1}$

解题步骤 4

取 $v^{- 1}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 4.1

取 $v^{- 1}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

解题步骤 4.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $v$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

解题步骤 5

在原方程 $\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- 1}$ 。

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 6.1.1.2

化简 $- {(v^{- 1})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 ${(v^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 1 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 2}$

解题步骤 6.1.1.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 6.1.1.3

在等式两边都加上 $\frac{1}{v}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$

解题步骤 6.1.1.4

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.4.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

解题步骤 6.1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

解题步骤 6.1.1.4.2.2

用 $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

解题步骤 6.1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.4.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

解题步骤 6.1.1.4.3.1.2

用 $\frac{1}{v^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

解题步骤 6.1.1.4.3.1.3

移动 $\frac{\frac{1}{v}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{1}{v}$

解题步骤 6.1.1.4.3.1.4

将 $- 1 \cdot \frac{1}{v}$ 重写为 $- \frac{1}{v}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}$

解题步骤 6.1.1.5

两边同时乘以 $v^{2}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6

化简。

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解题步骤 6.1.1.6.1

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.6.1.1

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.6.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.1.1.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.6.2.1

化简 $(\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.6.2.1.1

运用分配律。

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.2

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.6.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = 1 - \frac{1}{v} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.3

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.6.2.1.3.1

将 $- \frac{1}{v}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.3.2

从 $v^{2}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.3.3

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.3.4

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = 1 - 1 v$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.4

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1.6.2.1.4.1

将 $- 1 v$ 重写为 $- v$ 。

$\frac{d v}{d x} = 1 - v$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.4.2

将 $1$ 和 $- v$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} = - v + 1$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{- v + 1}$ 。

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v + 1} (- v + 1)$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

将 $\frac{1}{- v + 1}$ 乘以 $- v + 1$ 。

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

解题步骤 6.1.3.2

约去 $- v + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

解题步骤 6.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = 1$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{- v + 1} d v = 1 d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{- v + 1} d v = \int d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

使 $u = - v + 1$ 。然后使 $d u = - d v$ ，以便 $- d u = d v$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.1.1

设 $u = - v + 1$ 。求 $\frac{d u}{d v}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

解题步骤 6.2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

解题步骤 6.2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

解题步骤 6.2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 6.2.2.5

化简。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 6.2.2.6

使用 $- v + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 6.2.3

应用常数不变法则。

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$

解题步骤 6.3

求解 $v$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| - v + 1 |)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| - v + 1 |)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.2.2

用 $\ln (| - v + 1 |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| - v + 1 |) = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

移动 $\frac{x}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| - v + 1 |) = - 1 \cdot x + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot x$ 重写为 $- x$ 。

$\ln (| - v + 1 |) = - x + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.3.1.3

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| - v + 1 |) = - x - 1 \cdot C$

解题步骤 6.3.1.3.1.4

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| - v + 1 |) = - x - C$

解题步骤 6.3.2

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| - v + 1 |)} = e^{- x - C}$

解题步骤 6.3.3

使用对数的定义将 $\ln (| - v + 1 |) = - x - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- x - C} = | - v + 1 |$

解题步骤 6.3.4

求解 $v$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

将方程重写为 $| - v + 1 | = e^{- x - C}$ 。

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$

解题步骤 6.3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$- v + 1 = \pm e^{- x - C}$

解题步骤 6.3.4.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$

解题步骤 6.3.4.4

将 $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.4.4.1

将 $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.4.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.3.4.4.2.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.4.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.4.4.3.1.1

移动 $\frac{\pm e^{- x - C}}{- 1}$ 中分母的负号。

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.3.4.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\pm e^{- x - C})$ 重写为 $- (\pm e^{- x - C})$ 。

$v = - (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.3.4.4.3.1.3

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$v = - (\pm e^{- x - C}) + 1$

解题步骤 6.4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.4.1

化简积分常数。

$v = - (\pm e^{- x + C}) + 1$

解题步骤 6.4.2

将 $e^{- x + C}$ 重写为 $e^{- x} e^{C}$ 。

$v = - (\pm e^{- x} e^{C}) + 1$

解题步骤 6.4.3

将 $e^{- x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$v = - (\pm e^{C} e^{- x}) + 1$

解题步骤 6.4.4

用加号或减号合并常数。

$v = - (C e^{- x}) + 1$

解题步骤 7

代入 $y^{- 1}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 1} = - (C e^{- x}) + 1$

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