微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$ , $y (1) = 8$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x y$ 项的导数的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

解题步骤 1.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x y = \int 4 x d x$

解题步骤 5

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$x y = 4 \int x d x$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

将 $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 5.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

解题步骤 5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

解题步骤 5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

解题步骤 5.3.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$x y = 2 x^{2} + C$

解题步骤 6

将 $x y = 2 x^{2} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $x y = 2 x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.4

重写表达式。

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.5

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$y = 2 x + \frac{C}{x}$

解题步骤 7

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $8$ 代入 $y$ ，在 $y = 2 x + \frac{C}{x}$ 中求 $C$ 的值。

$8 = 2 \cdot 1 + \frac{C}{1}$

解题步骤 8

求解 $C$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将方程重写为 $2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$

解题步骤 8.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{C}{1} = 8$

解题步骤 8.2.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$2 + C = 8$

解题步骤 8.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$C = 8 - 2$

解题步骤 8.3.2

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$C = 6$

解题步骤 9

代入 $6$ 替换 $y = 2 x + \frac{C}{x}$ 中的 $C$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

代入 $6$ 替换 $C$ 。

$y = 2 x + \frac{6}{x}$

微积分学 示例

微积分学示例