微积分学示例

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简左边。

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $e^{- y} \sec (x)$ 。

$- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$

解题步骤 1.1.3

将 $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ 中的每一项除以 $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ 并化简。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ 中的每一项都除以 $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ 。

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.2.2

约去 $\frac{d y}{d x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.2.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.2.3.2

重写表达式。

$1 = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$1 = \frac{e^{- y} \sec (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.3.2

分离分数。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.3.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.3.4

将 $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 1.1.3.3.5

合并分数。

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解题步骤 1.1.3.3.5.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.3.5.2

合并。

$1 = \frac{e^{- y} \cdot 1}{\frac{d y}{d x} (\cos (x) \cos (x))}$

解题步骤 1.1.3.3.5.3

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.3.6

化简分母。

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解题步骤 1.1.3.3.6.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos (x))}$

解题步骤 1.1.3.3.6.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}$

解题步骤 1.1.3.3.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} {\cos (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.1.3.3.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.3.3.7

乘以 $1$ 。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

解题步骤 1.1.3.3.8

分离分数。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.3.3.9

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.1.3.3.10

将 $\frac{d y}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.1.3.3.11

组合 $\frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}}$ 和 $\sec^{2} (x)$ 。

$1 = \frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}}$

解题步骤 1.1.4

将方程重写为 $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ 。

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$

解题步骤 1.1.5

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1.5.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$\frac{d y}{d x}, 1$

解题步骤 1.1.5.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$\frac{d y}{d x}$

解题步骤 1.1.6

将 $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ 中的每一项乘以 $\frac{d y}{d x}$ 以消去分数。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ 中的每一项乘以 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

解题步骤 1.1.6.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.6.2.1

约去 $\frac{d y}{d x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

解题步骤 1.1.6.2.1.2

重写表达式。

$e^{- y} \sec^{2} (x) = 1 \frac{d y}{d x}$

解题步骤 1.1.6.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.6.3.1

将 $\frac{d y}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- y} \sec^{2} (x) = \frac{d y}{d x}$

解题步骤 1.1.7

将方程重写为 $\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{- y}}$ 。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

解题步骤 1.3

约去 $e^{- y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $e^{- y} \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $e^{- y}$ 。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec^{2} (x)))$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $e^{- y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 ${(e^{- y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

乘以 $- y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $e^{y}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.3

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$e^{y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$e^{y} = \tan (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (\tan (x) + K)$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (\tan (x) + K)$

解题步骤 3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (\tan (x) + K)$

解题步骤 3.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (\tan (x) + K)$

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