微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 - 2 x) y^{4}$

解题步骤 1

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{4}$ 的指数。

$v = y^{- 3}$

解题步骤 2

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 3

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 4

取 $v^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 4.1

取 $v^{- \frac{1}{3}}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 4.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 4.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.4.1

将 $v^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4.4.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4.4.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 4.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $v$ 。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.5.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.9

化简分子。

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解题步骤 4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.10

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $v^{- \frac{2}{3}}$ 。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $v^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.13

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.14

组合 $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ 和 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.15

将 $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 4.16

将 $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ 。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.17

通过指数相加将 $v^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $v^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 4.17.1

移动 $v^{\frac{2}{3}}$ 。

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 4.17.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.17.3

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 4.17.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5

在原方程 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 - 2 x) y^{4}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- \frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 6.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 中的每一项乘以 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 以消去分数。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 中的每一项乘以 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.2.1.1

约去 $3 v^{\frac{4}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.1.2

从 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 中分解出因数 $3 v^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.4

通过指数相加将 $v^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.1.4.1

移动 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.4.4

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.4.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.5

化简 $\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.1.7.1

从 $- 1 \cdot (3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.7.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.7.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.8

将 $- 1$ 移到 $v$ 的左侧。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.9

将 $- 1 v$ 重写为 $- v$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- 2 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- 2 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.3.3

乘以 $\frac{1}{3} (- 2 x)$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.3.3.2

组合 $\frac{- 2}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1.3.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (\frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (\frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (\frac{1}{3} - \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.5

运用分配律。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 (\frac{1}{3}) - 3 (- \frac{2 x}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.6.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (- 1) \frac{1}{3} - 3 (- \frac{2 x}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.6.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} - v = (3 \cdot - 1 \frac{1}{3} - 3 (- \frac{2 x}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.6.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 (- \frac{2 x}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.7.1

将 $- \frac{2 x}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.7.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 3 (- 1) \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.7.3

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 3 \cdot - 1 \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.7.4

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - (- 2 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.8

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1.3.8.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.8.2

将 ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.1.3.8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.8.2.2

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 4$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.8.2.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.8.2.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.8.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.9

通过指数相加将 $v^{- \frac{4}{3}}$ 乘以 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.9.1

移动 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

解题步骤 6.1.1.3.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.9.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.9.4

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{\frac{0}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.9.5

用 $0$ 除以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{0}$

解题步骤 6.1.1.3.10

化简 $(- 1 + 2 x) v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 + 2 x$

解题步骤 6.1.2

重新排序项。

$\frac{d v}{d x} - v = 2 x - 1$

解题步骤 6.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 1$ 。

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解题步骤 6.2.1

建立积分。

$e^{\int - 1 d x}$

解题步骤 6.2.2

应用常数不变法则。

$e^{- x + C}$

解题步骤 6.2.3

去掉积分常数。

$e^{- x}$

解题步骤 6.3

每一项乘以积分因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 6.3.1

每一项乘以 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 6.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 6.3.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 2 e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 6.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 2 e^{- x} x - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 6.3.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 2 e^{- x} x - e^{- x}$

解题步骤 6.3.4

将 $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 2 e^{- x} x - e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = 2 x e^{- x} - e^{- x}$

解题步骤 6.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = 2 x e^{- x} - e^{- x}$

解题步骤 6.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int 2 x e^{- x} - e^{- x} d x$

解题步骤 6.6

对左边积分。

$e^{- x} v = \int 2 x e^{- x} - e^{- x} d x$

解题步骤 6.7

对右边积分。

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解题步骤 6.7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{- x} v = \int 2 x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 6.7.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{- x} v = 2 \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 6.7.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 6.7.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 6.7.5

化简。

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解题步骤 6.7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 6.7.5.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 6.7.6

使 $u_{1} = - x$ 。然后使 $d u_{1} = - d x$ ，以便 $- d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.7.6.1

设 $u_{1} = - x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.7.6.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 6.7.6.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.7.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 6.7.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.7.6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 6.7.7

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 6.7.8

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 6.7.9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

解题步骤 6.7.10

使 $u_{2} = - x$ 。然后使 $d u_{2} = - d x$ ，以便 $- d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.7.10.1

设 $u_{2} = - x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.7.10.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 6.7.10.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.7.10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 6.7.10.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.7.10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6.7.11

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6.7.12

化简。

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解题步骤 6.7.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6.7.12.2

将 $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6.7.13

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6.7.14

化简。

$e^{- x} v = 2 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6.7.15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 6.7.15.1

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x} v = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6.7.15.2

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- x} v = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

解题步骤 6.8

将 $e^{- x} v = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ 中的每一项除以 $e^{- x}$ 并化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $e^{- x} v = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.2

化简左边。

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解题步骤 6.8.2.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3

化简右边。

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解题步骤 6.8.3.1

在公分母上合并分子。

$v = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.2

化简每一项。

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解题步骤 6.8.3.2.1

运用分配律。

$v = \frac{2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$v = \frac{- 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$v = \frac{- 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.3

化简项。

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解题步骤 6.8.3.3.1

将 $- 2 e^{- x}$ 和 $e^{- x}$ 相加。

$v = \frac{- 2 x e^{- x} - e^{- x} + C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.3.2

从 $- 2 x e^{- x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v = \frac{- (2 x e^{- x}) - e^{- x} + C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.3.3

从 $- e^{- x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v = \frac{- (2 x e^{- x}) - (e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.3.4

从 $- (2 x e^{- x}) - (e^{- x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v = \frac{- (2 x e^{- x} + e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.3.5

从 $C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v = \frac{- (2 x e^{- x} + e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.3.6

从 $- (2 x e^{- x} + e^{- x}) - 1 (- C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v = \frac{- (2 x e^{- x} + e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.3.7

化简表达式。

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解题步骤 6.8.3.3.7.1

将 $- (2 x e^{- x} + e^{- x} - C)$ 重写为 $- 1 (2 x e^{- x} + e^{- x} - C)$ 。

$v = \frac{- 1 (2 x e^{- x} + e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

解题步骤 6.8.3.3.7.2

将负号移到分数的前面。

$v = - \frac{2 x e^{- x} + e^{- x} - C}{e^{- x}}$

解题步骤 7

代入 $y^{- 3}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 3} = - \frac{2 x e^{- x} + e^{- x} - C}{e^{- x}}$

微积分学 示例

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