微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y^{2} + 1}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y^{2} + 1$ 。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x}{y^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x}{y^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(y^{2} + 1) d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} + 1 d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

微积分学 示例