微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $y^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\arctan (y) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

将 $- x^{- 1} + C_{2}$ 重写为 $- \frac{1}{x} + C_{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = - \frac{1}{x} + K$

解题步骤 3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (- \frac{1}{x} + K)$

微积分学 示例

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