微积分学示例

$4 x y^{2} d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $4 x y^{2} d x$ 。

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y^{2} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ 。

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(x^{2} + 1) y^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2})} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

解题步骤 3.3

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $(x^{2} + 1) y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (x y^{2}) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

解题步骤 3.4.3

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

解题步骤 3.4.4

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4.2.2

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4.2.3

将 $- y^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 4.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4.3.4

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.4.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.4.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 4.3.4.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3.4.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 4.3.4.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 4.3.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4.3.5

化简。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 4.3.5.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 4.3.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 4.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 4$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.9

化简。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.10

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{y} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ 。

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$

解题步骤 5.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1$

解题步骤 5.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 5.3

将 $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

解题步骤 5.3.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

去掉 ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$

解题步骤 5.3.3.2

将 $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$ 中的因式重新排序。

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$

解题步骤 5.4

求解方程。

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解题步骤 5.4.1

将方程重写为 $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$ 。

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$

解题步骤 5.4.2

从 $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

从 $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C y = - 1$

解题步骤 5.4.2.2

从 $C y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C = - 1$

解题步骤 5.4.2.3

从 $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

解题步骤 5.4.3

将 $- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 重写为 $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 。

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

解题步骤 5.4.4

将 $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ 中的每一项除以 $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ 并化简。

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解题步骤 5.4.4.1

将 $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ 中的每一项都除以 $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ 。

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

解题步骤 5.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.4.2.1

约去 $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

解题步骤 5.4.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

解题步骤 5.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

解题步骤 5.4.4.3.2

从 $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C}$

解题步骤 5.4.4.3.3

从 $C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)}$

解题步骤 5.4.4.3.4

从 $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

解题步骤 5.4.4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.4.4.3.5.1

将 $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ 重写为 $- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ 。

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

解题步骤 5.4.4.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y = - - \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

解题步骤 5.4.4.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 1 \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

解题步骤 5.4.4.3.5.4

将 $\frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

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