微积分学示例

$3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$

解题步骤 1

重写微分方程以符合伯努利方程。

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解题步骤 1.1

将 $3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

解题步骤 1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

解题步骤 1.3

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

解题步骤 1.4

从 $\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}) = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

解题步骤 2

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{4}$ 的指数。

$v = y^{- 3}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 4

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 5

取 $v^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 5.1

取 $v^{- \frac{1}{3}}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 5.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 5.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

将 ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.4.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.4.1

将 $v^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.4.4.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.4.4.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 5.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $v$ 。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.5.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.8

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.9

化简分子。

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解题步骤 5.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.10

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $v^{- \frac{2}{3}}$ 。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $v^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.13

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.14

组合 $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ 和 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.15

将 $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 5.16

将 $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ 。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.17

通过指数相加将 $v^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $v^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 5.17.1

移动 $v^{\frac{2}{3}}$ 。

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 5.17.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.17.3

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 5.17.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6

在原方程 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- \frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

解题步骤 7

求解代入的微分方程。

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解题步骤 7.1

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 中的每一项乘以 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 以消去分数。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 中的每一项乘以 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1

约去 $3 v^{\frac{4}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.2

从 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 中分解出因数 $3 v^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4

通过指数相加将 $v^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 7.1.1.2.1.4.1

移动 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4.4

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5

化简 $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.6.1

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.6.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.7

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot - 3 = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.9

组合 $\frac{v}{x}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v \cdot - 3}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.10

将 $- 3$ 移到 $v$ 的左侧。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 \cdot v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.1.3.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 7.1.1.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 1 \cdot 3 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1

从 $- 1 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.3.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - (2 x^{4}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 7.1.1.3.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.2

将 ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.1.3.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.2.2

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 4$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.4.2.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.2.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.5

通过指数相加将 $v^{- \frac{4}{3}}$ 乘以 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.5.1

移动 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

解题步骤 7.1.1.3.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.5.4

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{0}{3}}$

解题步骤 7.1.1.3.5.5

用 $0$ 除以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{0}$

解题步骤 7.1.1.3.6

化简 $- 2 x^{4} v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4}$

解题步骤 7.1.2

从 $- \frac{3 v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 2 x^{4}$

解题步骤 7.1.3

将 $v$ 和 $- \frac{3}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 2 x^{4}$

解题步骤 7.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2

对 $- \frac{3}{x}$ 积分。

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解题步骤 7.2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 7.2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 7.2.2.5

化简。

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 7.2.3

去掉积分常数。

$e^{- 3 \ln (x)}$

解题步骤 7.2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 3})}$

解题步骤 7.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 3}$

解题步骤 7.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 7.3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

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解题步骤 7.3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $\frac{d v}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

解题步骤 7.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

解题步骤 7.3.2.3

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

解题步骤 7.3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.1

将 $\frac{3 v}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

解题步骤 7.3.2.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

解题步骤 7.3.2.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

解题步骤 7.3.2.4.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

解题步骤 7.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

解题步骤 7.3.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} x^{4}$

解题步骤 7.3.5

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

解题步骤 7.3.5.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

解题步骤 7.3.5.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 x$

解题步骤 7.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] = - 2 x$

解题步骤 7.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] d x = \int - 2 x d x$

解题步骤 7.6

对左边积分。

$\frac{1}{x^{3}} v = \int - 2 x d x$

解题步骤 7.7

对右边积分。

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解题步骤 7.7.1

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 \int x d x$

解题步骤 7.7.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 7.7.3

化简答案。

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解题步骤 7.7.3.1

将 $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 7.7.3.2

化简。

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解题步骤 7.7.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.3.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.7.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{3}} v = - x^{2} + C$

解题步骤 7.8

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.8.1

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $v$ 。

$\frac{v}{x^{3}} = - x^{2} + C$

解题步骤 7.8.2

两边同时乘以 $x^{3}$ 。

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

解题步骤 7.8.3

化简。

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解题步骤 7.8.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.8.3.1.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

解题步骤 7.8.3.1.1.2

重写表达式。

$v = (- x^{2} + C) x^{3}$

解题步骤 7.8.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.8.3.2.1

化简 $(- x^{2} + C) x^{3}$ 。

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解题步骤 7.8.3.2.1.1

运用分配律。

$v = - x^{2} x^{3} + C x^{3}$

解题步骤 7.8.3.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.8.3.2.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$v = - (x^{3} x^{2}) + C x^{3}$

解题步骤 7.8.3.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v = - x^{3 + 2} + C x^{3}$

解题步骤 7.8.3.2.1.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$v = - x^{5} + C x^{3}$

解题步骤 8

代入 $y^{- 3}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 3} = - x^{5} + C x^{3}$

微积分学 示例

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