微积分学示例

$(2 x + 3) \frac{d y}{d x} = y + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$(2 x + 3) \frac{d y}{d x} - y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2

将 $(2 x + 3) \frac{d y}{d x} - y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $2 x + 3$ 。

$\frac{(2 x + 3) \frac{d y}{d x}}{2 x + 3} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

解题步骤 1.3

约去 $2 x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{(2 x + 3) \frac{d y}{d x}}{2 x + 3} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

解题步骤 1.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

解题步骤 1.4

从 ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x + 3$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

解题步骤 1.5

约去公因数。

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解题步骤 1.5.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{(2 x + 3) \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{(2 x + 3) \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 1.5.4

用 ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.6

从 $\frac{- y}{2 x + 3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{2 x + 3} = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.7

将 $y$ 和 $\frac{- 1}{2 x + 3}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2 x + 3} y = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{- 1}{2 x + 3}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{- 1}{2 x + 3} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{- 1}{2 x + 3}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

将负号移到分数的前面。

$e^{\int - \frac{1}{2 x + 3} d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{2 x + 3} d x}$

解题步骤 2.2.3

使 $u = 2 x + 3$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.3.1

设 $u = 2 x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

对 $2 x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 2.2.3.1.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.3.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 2.2.3.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 2.2.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$e^{- \int \frac{1}{2 u} d u}$

解题步骤 2.2.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

解题步骤 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 2.2.7

化简。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C}$

解题步骤 2.2.8

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (2 x + 3)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln ({(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{1}{2 x + 3}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x + 3} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.5

乘以 $- \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x + 3}$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $\frac{y}{2 x + 3}$ 乘以 $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.5.2

通过指数相加将 $2 x + 3$ 乘以 ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.5.2.1

将 $2 x + 3$ 乘以 ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.5.2.1.1

对 $2 x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.5.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.5.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.5.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.5.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.3

约去 ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

化简。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x + 3} d x$

解题步骤 7.2

使 $u = 2 x + 3$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.2.1

设 $u = 2 x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2 x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 7.2.1.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 7.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 7.2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 7.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 7.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 7.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.2.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 7.2.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 7.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 7.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 7.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 7.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 7.6

化简。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 7.7

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

解题步骤 8.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |)$ 。

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 8.3

两边同时乘以 ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

化简左边。

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解题步骤 8.4.1.1

约去 ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4.1.1.2

重写表达式。

$y = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.1

化简 $(\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.1

运用分配律。

$y = \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 8.4.2.1.2.1

将 $\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 中的因式重新排序。

$y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4.2.1.2.2

将 ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}})$ 和 $C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$y = C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}})$

微积分学 示例

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