微积分学示例

$\frac{d h}{d t} = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d h = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d h = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$h + C_{1} = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $17.6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $17.6$ 移到积分外。

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 17.6 t^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 35.2 t d t$ ，以便 $\frac{1}{35.2} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 17.6 t^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $17.6 t^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2} + 1]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $17.6 t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $17.6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $17.6 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$17.6 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $17.6$ 。

$35.2 t + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$35.2 t + 0$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

将 $35.2 t$ 和 $0$ 相加。

$35.2 t$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{35.2} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{35.2}$ 。

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 35.2} d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $35.2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{35.2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{35.2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{35.2}$ 移到积分外。

$h + C_{1} = 17.6 (\frac{1}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

解题步骤 2.3.5

合并分数。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{35.2}$ 和 $17.6$ 。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $\frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$ 。

$h + C_{1} = 0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

将 $2$ 乘以 $0.5$ 。

$h + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$h + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $17.6 t^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$h + C_{1} = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$h = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

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