微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 2$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (x)}$

解题步骤 1.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$x$

$x$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $x$ 。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cdot 2$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot 2$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot 2$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot 2$

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot 2$

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot 2$

解题步骤 2.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x$

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = 2 x$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 2 x d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$x y = \int 2 x d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x y = 2 \int x d x$

解题步骤 6.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 6.3

化简答案。

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解题步骤 6.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$x y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 6.3.2

化简。

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解题步骤 6.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 6.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

约去公因数。

$x y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 6.3.2.2.2

重写表达式。

$x y = 1 x^{2} + C$

$x y = 1 x^{2} + C$

解题步骤 6.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x y = x^{2} + C$

$x y = x^{2} + C$

$x y = x^{2} + C$

$x y = x^{2} + C$

解题步骤 7

将 $x y = x^{2} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $x y = x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

$y = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

$y = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.3.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.3.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.3.1.2.4

重写表达式。

$y = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.3.1.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y = x + \frac{C}{x}$

$y = x + \frac{C}{x}$

$y = x + \frac{C}{x}$

$y = x + \frac{C}{x}$

$y = x + \frac{C}{x}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$