微积分学示例

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

解题步骤 1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1

化简左边。

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解题步骤 1.1.1

将 $x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x})$ 中的因式重新排序。

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

解题步骤 1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) - y \sin (\frac{y}{x}) = - x$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $y \sin (\frac{y}{x})$ 。

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$

解题步骤 1.3

将 $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ 中的每一项除以 $x \sin (\frac{y}{x})$ 并化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ 中的每一项都除以 $x \sin (\frac{y}{x})$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.2.2

约去 $\sin (\frac{y}{x})$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.3.1.1.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.3.1.2

分离分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.3.1.3

将 $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ 转换成 $\csc (\frac{y}{x})$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.3.1.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.3.1.5

约去 $\sin (\frac{y}{x})$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.1.5.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.3.1.5.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \csc (V) + V$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = - \csc (V) + V$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + V - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

合并 $- \csc (V) + V - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + 0$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

将 $- \csc (V)$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$

解题步骤 6.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{\csc (V)}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\csc (V)}$ 。

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} (- \frac{\csc (V)}{x})$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

解题步骤 6.1.3.2

约去 $\csc (V)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

将 $- \frac{1}{\csc (V)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

解题步骤 6.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

解题步骤 6.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\csc (V)} d V = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

化简。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 $\csc (V)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (V)}$ 。

$\int 1 \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.3

将 $\sin (V)$ 乘以 $1$ 。

$\int \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

$\sin (V)$ 对 $V$ 的积分为 $- \cos (V)$ 。

$- \cos (V) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

对右边积分。

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解题步骤 6.2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \cos (V) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \cos (V) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 6.2.3.3

化简。

$- \cos (V) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.2.2

用 $\cos (V)$ 除以 $1$ 。

$\cos (V) = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

用 $\ln (| x |)$ 除以 $1$ 。

$\cos (V) = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.3.1.3

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (V) = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

解题步骤 6.3.1.3.1.4

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\cos (V) = \ln (| x |) - C$

解题步骤 6.3.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $V$ 。

$V = \arccos (\ln (| x |) - C)$

解题步骤 6.4

化简积分常数。

$V = \arccos (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $\arccos (\ln (| x |) + C) x$ 中的因式重新排序。

$y = x \arccos (\ln (| x |) + C)$

微积分学 示例

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