微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x e^{2 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{2 y}}$ 。

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (x e^{2 y})$

解题步骤 1.2

约去 $e^{2 y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x e^{2 y}$ 中分解出因数 $e^{2 y}$ 。

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} x)$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} x)$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $e^{2 y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 ${(e^{2 y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $e^{- 2 y}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{- 2 y} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u = - 2 y$ 。然后使 $d u = - 2 d y$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = - 2 y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $- 2 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

解题步骤 2.2.2.1.2

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) = \int x d x$

解题步骤 2.2.6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

$- \frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.8

使用 $- 2 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $e^{- 2 y}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

将 $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.4

重写表达式。

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.3

乘。

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解题步骤 3.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.3.2

将 $e^{- 2 y}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{x^{2}}{2} - 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- 2 y} = 2 (- 1) \frac{x^{2}}{2} - 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去公因数。

$e^{- 2 y} = 2 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2} - 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

重写表达式。

$e^{- 2 y} = - x^{2} - 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- x^{2} - 2 K)$

解题步骤 3.4

展开左边。

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解题步骤 3.4.1

通过将 $- 2 y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- 2 y})$ 。

$- 2 y \ln (e) = \ln (- x^{2} - 2 K)$

解题步骤 3.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- x^{2} - 2 K)$

解题步骤 3.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 y = \ln (- x^{2} - 2 K)$

解题步骤 3.5

将 $- 2 y = \ln (- x^{2} - 2 K)$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 2 y = \ln (- x^{2} - 2 K)$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{- 2}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{- 2}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{- 2}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{\ln (- x^{2} + K)}{2}$

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