微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{y - 3}{4 y}$ 。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} (\frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{4 y}{y - 3}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $(y - 3) x$ 中分解出因数 $y - 3$ 。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) (x)}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

解题步骤 1.3.3

约去 $4 y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.1

约去公因数。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

解题步骤 1.3.3.2

重写表达式。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{y - 3}{4 y} d y = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y - 3}{4 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

用 $y - 3$ 除以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$0$

$y$

$3$

解题步骤 2.2.2.2

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

解题步骤 2.2.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

解题步骤 2.2.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y + 0$ 中的所有符号

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

解题步骤 2.2.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

解题步骤 2.2.2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{4} \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.6

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.8

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.9

化简。

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) = \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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