微积分学示例

$(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x y + y + y^{2}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y + y^{2}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $x y + y + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [x y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 2 y$

解题步骤 1.4.3

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x + 2 y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x + 2 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.4

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x + 2 y + 1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$x + 2 y + 1 = 1$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$x + 2 y + 1 = 1$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $x + 2 y + 1$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{x + 2 y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $x + 2 y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x + 2 y$ 替换 $N$ 。

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{x + 2 y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x + 2 y + 0}{x + 2 y}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $x + 2 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

解题步骤 4.3.3

约去 $x + 2 y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$1$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int d x}$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{x + C}$

解题步骤 5.2

化简。

$μ (x, y) = e^{x} + C$

解题步骤 6

在 $(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x y + y + y^{2}$ 乘以 $e^{x}$ 。

$(x y + y + y^{2}) e^{x} d x + (x + 2 y) d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $x + 2 y$ 乘以 $e^{x}$ 。

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) e^{x} d y = 0$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x}) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 y e^{x} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = x e^{x} + 2 y e^{x}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int x e^{x} d y + \int 2 y e^{x} d y$

解题步骤 8.2

应用常数不变法则。

$f (x, y) = x e^{x} y + C + \int 2 y e^{x} d y$

解题步骤 8.3

由于 $2 e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2 e^{x}$ 移到积分外。

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} \int y d y$

解题步骤 8.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 8.5

化简。

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} e^{x} y^{2} + C$

解题步骤 8.6

化简。

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解题步骤 8.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

解题步骤 8.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

解题步骤 8.6.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = x e^{x} y + 1 e^{x} y^{2} + C$

解题步骤 8.6.3

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x e^{x} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.3.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.4

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ 。

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解题步骤 11.4.1

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $e^{x} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.5

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.6

化简。

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解题步骤 11.6.1

运用分配律。

$y (x e^{x}) + y e^{x} + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.6.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 11.6.3

将 $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $x y e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x}$

解题步骤 12.1.2

从等式两边同时减去 $y e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

解题步骤 12.1.3

从等式两边同时减去 $y^{2} e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

解题步骤 12.1.4

合并 $x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.4.1

从 $x y e^{x}$ 中减去 $x y e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} + 0 - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

解题步骤 12.1.4.2

将 $y e^{x} + y^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

解题步骤 12.1.4.3

从 $y e^{x}$ 中减去 $y e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} + 0 - y^{2} e^{x}$

解题步骤 12.1.4.4

将 $y^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - y^{2} e^{x}$

解题步骤 12.1.4.5

从 $y^{2} e^{x}$ 中减去 $y^{2} e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 13

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 0 d x$

解题步骤 13.3

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$g (x) = 0 + C$

解题步骤 13.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (x) = C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

解题步骤 15

将 $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = x y e^{x} + y^{2} e^{x} + C$

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