微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{y}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{y}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = x^{5}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = x^{5} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int x^{5} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{5} d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{6} x^{6} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{6}}{6} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{x^{6}}{6} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{2} = 2 \frac{x^{6}}{2 (3)} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{x^{6}}{2 \cdot 3} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

重写表达式。

$y^{2} = \frac{x^{6}}{3} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{6}}{3} + 2 K}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{x^{6}}{3} + 2 K}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要将 $2 K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{6}}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 3.4.2

组合 $2 K$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{6}}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.3

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{6} + 2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{6} + 6 K}{3}}$

解题步骤 3.4.5

将 $\sqrt{\frac{x^{6} + 6 K}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x^{6} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.4.6

将 $\frac{\sqrt{x^{6} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.7.1

将 $\frac{\sqrt{x^{6} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.4.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.4.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 3.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 3.4.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.7.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.7.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 3.4.7.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{6} + 6 K} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.4.8

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{6} + 6 K) \cdot 3}}{3}$

解题步骤 3.4.9

将 $\pm \frac{\sqrt{(x^{6} + 6 K) \cdot 3}}{3}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x^{6} + 6 K)}}{3}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{6} + 6 K)}}{3}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{6} + 6 K)}}{3}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{6} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{6} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{6} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{6} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{6} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{6} + 6 K)}}{3}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{6} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{6} + K)}}{3}$

微积分学 示例

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