微积分学示例

$2 y d y = (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 1

对两边积分。

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解题步骤 1.1

在两边建立积分。

$\int 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 1.2

对左边积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 1.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 。

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 1.2.3.2

化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

重写表达式。

$1 y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 1.3

对右边积分。

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解题步骤 1.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 1.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

解题步骤 1.3.3

应用常数不变法则。

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

解题步骤 1.3.4

化简。

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

解题步骤 1.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$

解题步骤 2.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$ 。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x + K}$

解题步骤 2.2.2

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x \cdot \frac{3}{3} + K}$

解题步骤 2.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x \cdot 3}{3} + K}$

解题步骤 2.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3}{3} + K}$

解题步骤 2.2.5

从 $x^{3} + x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}{3} + K}$

解题步骤 2.2.5.2

从 $x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x (3)}{3} + K}$

解题步骤 2.2.5.3

从 $x \cdot x^{2} + x (3)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K}$

解题步骤 2.2.6

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 2.2.7

化简项。

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解题步骤 2.2.7.1

组合 $K$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.2.7.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3) + K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.2.8

化简分子。

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解题步骤 2.2.8.1

运用分配律。

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.2.8.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.8.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.8.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.2.8.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1 + 2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.2.8.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.2.8.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.2.8.4

将 $3$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$

解题步骤 2.2.9

将 $\sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.2.10

将 $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.2.11

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.11.1

将 $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.2.11.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.2.11.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 2.2.11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.2.11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.2.11.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.2.11.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.11.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.11.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.11.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.11.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.11.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.2.11.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.2.12

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

解题步骤 2.2.13

将 $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

解题步骤 2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

解题步骤 2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

解题步骤 2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

解题步骤 3

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

微积分学 示例

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