微积分学示例

$4 + x^{2} = (1 - y^{5}) \frac{d y}{d x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

翻转两边以得到左边的 $\frac{d y}{d x}$ 。

$(1 - y^{5}) \frac{d y}{d x} = 4 + x^{2}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$(1 - y^{5}) d y = (4 + x^{2}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 1 - y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int - y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int - y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} - \int y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

解题步骤 2.2.4

根据幂法则， $y^{5}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{6} y^{6}$ 。

$y + C_{1} - (\frac{1}{6} y^{6} + C_{2}) = \int 4 + x^{2} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$y - \frac{1}{6} y^{6} + C_{3} = \int 4 + x^{2} d x$

解题步骤 2.2.6

重新排序项。

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = \int 4 + x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = 4 x + C_{4} + \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = 4 x + C_{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{6}$

解题步骤 2.3.5

重新排序项。

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{6} y^{6} + y = \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$

微积分学 示例

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