微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{4} - y^{2} + x^{4} - 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{4} - y^{2}) + x^{4} - 1$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1)$

解题步骤 1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x^{4} - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{d y}{d x} = (x^{4} - 1) (y^{2} + 1)$

解题步骤 1.1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

解题步骤 1.1.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

解题步骤 1.1.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

解题步骤 1.1.6.2

因数。

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解题步骤 1.1.6.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (y^{2} + 1)$

解题步骤 1.1.6.2.2

去掉多余的括号。

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1))$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$ 中分解出因数 $y^{2} + 1$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

解题步骤 1.3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

解题步骤 1.3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

解题步骤 1.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

运用分配律。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)$

解题步骤 1.3.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)$

解题步骤 1.3.2.3

运用分配律。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

解题步骤 1.3.3

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

解题步骤 1.3.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

解题步骤 1.3.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

解题步骤 1.3.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

解题步骤 1.3.3.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$

解题步骤 1.3.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.5.1.1

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.5.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.1.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.2

将 $- 1$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1 \cdot x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.3

将 $- 1 x^{3}$ 重写为 $- x^{3}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.5.4.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.5.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.4.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.5

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.6

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.7

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.8

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.9

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.10

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

解题步骤 1.3.6

合并 $x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

解题步骤 1.3.6.2

将 $x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

解题步骤 1.3.6.3

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x + x - 1$

解题步骤 1.3.6.4

将 $x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x + x - 1$

解题步骤 1.3.6.5

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - 1$

解题步骤 1.3.6.6

将 $x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{4} - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{4} - 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $y^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = \frac{1}{5} x^{5} - x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (\frac{1}{5} x^{5} - x + K)$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$y = \tan (\frac{x^{5}}{5} - x + K)$

微积分学 示例

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