微积分学示例

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 1$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - (y - 2 x y)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y - 2 x y)]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (y - 2 x y)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $y - 2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

解题步骤 2.4

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

解题步骤 2.6

因为 $- 2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$0 = 2 y$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$0 = 2 y$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $2 y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{0 - (2 y)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $- (y - 2 x y)$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $- (y - 2 x y)$ 替换 $N$ 。

$\frac{0 - (2 y)}{- (y - 2 x y)}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 - 2 y}{- (y - 2 x y)}$

解题步骤 4.3.2.2

从 $0$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{- 2 y}{- (y - 2 x y)}$

解题步骤 4.3.3

从 $y - 2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 y}{- (y^{1} - 2 x y)}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 - 2 x y)}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $- 2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 + y (- 2 x))}$

解题步骤 4.3.3.4

从 $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{- 2 y}{- (y (1 - 2 x))}$

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{- 2}{- 1 (1 - 2 x)}$

解题步骤 4.3.5

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{2}{1 - 2 x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x}$

解题步骤 5.2

使 $u = 1 - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.2.1

设 $u = 1 - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $1 - 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

解题步骤 5.2.1.2

求微分。

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解题步骤 5.2.1.2.1

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 5.2.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 5.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2$

解题步骤 5.2.1.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 5.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将负号移到分数的前面。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u}$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

解题步骤 5.3.3

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{2 u} d u}$

解题步骤 5.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{2 (- \int \frac{1}{2 u} d u)}$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

解题步骤 5.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

解题步骤 5.7

化简。

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解题步骤 5.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2.2

约去公因数。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2.3

重写表达式。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 5.9

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

解题步骤 5.10

使用 $1 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 1 - 2 x |)} + C$

解题步骤 5.11

化简每一项。

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解题步骤 5.11.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| 1 - 2 x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 1 - 2 x |}^{- 1})} + C$

解题步骤 5.11.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| 1 - 2 x |}^{- 1} + C$

解题步骤 5.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| 1 - 2 x |} + C$

解题步骤 6

将 $1$ 乘以 $\frac{1}{1 - 2 x}$ 。

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - y d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = - y$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \int y d y$

解题步骤 8.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 8.3

将 $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

解题步骤 11.3

因为 $- \frac{1}{2} y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

解题步骤 11.5

将 $0$ 和 $\frac{d g}{d x}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

解题步骤 12

求 $\frac{1}{1 - 2 x}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 12.1

对 $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

解题步骤 12.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

解题步骤 12.3

使 $u = 1 - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 12.3.1

设 $u = 1 - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 12.3.1.1

对 $1 - 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

解题步骤 12.3.1.2

求微分。

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解题步骤 12.3.1.2.1

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 12.3.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 12.3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 12.3.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 12.3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 12.3.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2$

解题步骤 12.3.1.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 12.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 12.4

化简。

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解题步骤 12.4.1

将负号移到分数的前面。

$g (x) = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 12.4.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 12.4.3

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$g (x) = \int - \frac{1}{2 \cdot u} d u$

解题步骤 12.4.4

将 $2$ 乘以 $u$ 。

$g (x) = \int - \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 12.5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (x) = - \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 12.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (x) = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 12.7

去掉圆括号。

$g (x) = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 12.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$g (x) = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 12.9

化简。

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 12.10

使用 $1 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

解题步骤 13

在 $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

解题步骤 14

化简 $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$ 。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

解题步骤 14.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ 。

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解题步骤 14.1.2.1

将 $\ln (| 1 - 2 x |)$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)) + C$

解题步骤 14.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 14.2

要将 $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 14.3

组合 $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 14.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 14.5

化简分子。

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解题步骤 14.5.1

乘以 $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 14.5.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

解题步骤 14.5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

解题步骤 14.5.2

将 ${({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 14.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

解题步骤 14.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.2.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

解题步骤 14.5.2.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{1})}{2} + C$

解题步骤 14.5.3

化简。

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$

微积分学 示例

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