微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \cos (4 x) - 2 x$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (\cos (4 x) - 2 x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) d x + \int - 2 x d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3.2.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int - 2 x d x$

解题步骤 2.3.3

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int - 2 x d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u + \int - 2 x d x$

解题步骤 2.3.5

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) + \int - 2 x d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 \int x d x$

解题步骤 2.3.7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.8

化简。

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解题步骤 2.3.8.1

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.8.2

化简。

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解题步骤 2.3.8.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.8.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.8.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.8.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.8.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.8.2.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.8.2.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.8.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.9

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (4 x) - x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.10

重新排序项。

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + K$

微积分学 示例

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