微积分学示例

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x^{2} y$ 项的导数的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} y' + y (2 x)$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

解题步骤 1.5

去掉圆括号。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

解题步骤 1.6

移动 $y$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

解题步骤 5

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 5.2.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 5.2.2.2

重写表达式。

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

解题步骤 5.3

应用常数不变法则。

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

解题步骤 5.4

化简。

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

解题步骤 6

将 $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1.1

从 $\ln (x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.2.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ 中求 $C$ 的值。

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

解题步骤 8

求解 $C$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将方程重写为 $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ 。

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

解题步骤 8.2

化简 $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

解题步骤 8.2.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

解题步骤 8.2.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

解题步骤 8.2.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.4.1

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

解题步骤 8.2.4.2

一的任意次幂都为一。

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

解题步骤 8.2.4.3

用 $C$ 除以 $1$ 。

$- 1 + C = 2$

解题步骤 8.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$C = 2 + 1$

解题步骤 8.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$C = 3$

解题步骤 9

代入 $3$ 替换 $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ 中的 $C$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

代入 $3$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例