微积分学示例

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

解题步骤 1.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x \cos^{2} (y)$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = \cos (y)$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (y)$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

解题步骤 1.3.3

使用 $\cos (y)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

解题步骤 1.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

解题步骤 1.5

$\cos (y)$ 对 $y$ 的导数为 $- \sin (y)$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

解题步骤 1.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = \tan (y)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

解题步骤 2.2

因为 $\tan (y)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\tan (y)$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $0$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $x \cos^{2} (y)$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x \cos^{2} (y)$ 替换 $M$ 。

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 和 $x \cos (y) \sin (y)$ 重新排序。

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.2.3

添加圆括号。

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.2.4

添加圆括号。

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.2.5

将 $\cos (y)$ 和 $\sin (y) \cdot 2$ 重新排序。

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.2.6

将 $\sin (y)$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.2.7

使用正弦倍角公式。

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.2.8

将 $0$ 和 $x \sin (2 y)$ 相加。

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.4

使用正弦倍角公式。

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.5

约去 $\cos (y)$ 和 $\cos^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $2 \sin (y) \cos (y)$ 中分解出因数 $\cos (y)$ 。

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

解题步骤 4.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.5.2.1

从 $\cos^{2} (y)$ 中分解出因数 $\cos (y)$ 。

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

解题步骤 4.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

解题步骤 4.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

解题步骤 4.3.6

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

解题步骤 4.3.7

将 $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 转换成 $\tan (y)$ 。

$\frac{2}{1} \tan (y)$

解题步骤 4.3.8

代入 $x \cos^{2} (y)$ 替换 $M$ 。

$2 \tan (y)$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

解题步骤 5.2

$\tan (y)$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| \sec (y) |)$ 。

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

解题步骤 5.3

化简。

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| \sec (y) |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

解题步骤 5.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

解题步骤 5.4.3

去掉 ${| \sec (y) |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

解题步骤 6

在 $x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\sec^{2} (y)$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x \cos^{2} (y)$ 乘以 $\sec^{2} (y)$ 。

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

解题步骤 6.3

对 $\frac{1}{\cos (y)}$ 运用乘积法则。

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

解题步骤 6.4

约去 $\cos^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $x \cos^{2} (y)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (y)$ 。

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

解题步骤 6.4.3

重写表达式。

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

解题步骤 6.5

一的任意次幂都为一。

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x d x + \tan (y) d y = 0$

解题步骤 6.7

将 $\tan (y)$ 乘以 $\sec^{2} (y)$ 。

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = x$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

解题步骤 11.3

因为 $\frac{1}{2} x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

解题步骤 11.5

将 $0$ 和 $\frac{d g}{d y}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

解题步骤 12

求 $\tan (y) \sec^{2} (y)$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 12.1

对 $\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

解题步骤 12.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

解题步骤 12.3

使 $u = \sec (y)$ 。然后使 $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ ，以便 $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 12.3.1

设 $u = \sec (y)$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 12.3.1.1

对 $\sec (y)$ 求导。

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

解题步骤 12.3.1.2

$\sec (y)$ 对 $y$ 的导数为 $\sec (y) \tan (y)$ 。

$\sec (y) \tan (y)$

解题步骤 12.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = \int u d u$

解题步骤 12.4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 12.5

使用 $\sec (y)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

解题步骤 13

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

解题步骤 14

化简每一项。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sec^{2} (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$

微积分学 示例

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