微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 4 e^{x + y}$

解题步骤 1

使 $v = e^{x + y}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $e^{x + y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4 v$

解题步骤 2

通过对 $e^{x + y}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x + y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + y')$

解题步骤 3

代入 $v$ 替换 $e^{x + y}$ 。

$\frac{d v}{d x} = v (1 + y')$

解题步骤 4

将导数代回微分方程。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 1 = 4 v$

解题步骤 5

分离变量。

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解题步骤 5.1

求解 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 4 v + 1$

解题步骤 5.1.2

两边同时乘以 $v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (4 v + 1) v$

解题步骤 5.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.3.1.1

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (4 v + 1) v$

解题步骤 5.1.3.1.1.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = (4 v + 1) v$

解题步骤 5.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.2.1

化简 $(4 v + 1) v$ 。

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解题步骤 5.1.3.2.1.1

运用分配律。

$\frac{d v}{d x} = 4 v \cdot v + 1 v$

解题步骤 5.1.3.2.1.2

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 5.1.3.2.1.2.1

移动 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} = 4 (v \cdot v) + 1 v$

解题步骤 5.1.3.2.1.2.2

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} = 4 v^{2} + 1 v$

解题步骤 5.1.3.2.1.3

将 $v$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} = 4 v^{2} + v$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 $\frac{1}{4 v^{2} + v}$ 。

$\frac{1}{4 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{4 v^{2} + v} (4 v^{2} + v)$

解题步骤 5.3

约去 $4 v^{2} + v$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{4 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{4 v^{2} + v} (4 v^{2} + v)$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{4 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = 1$

解题步骤 5.4

重写该方程。

$\frac{1}{4 v^{2} + v} d v = 1 d x$

解题步骤 6

对两边积分。

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解题步骤 6.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{4 v^{2} + v} d v = \int d x$

解题步骤 6.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 6.2.1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 6.2.1.1.1

从 $4 v^{2} + v$ 中分解出因数 $v$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1.1

从 $4 v^{2}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{1}{v (4 v) + v}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{v (4 v) + v^{1}}$

解题步骤 6.2.1.1.1.3

从 $v^{1}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{1}{v (4 v) + v \cdot 1}$

解题步骤 6.2.1.1.1.4

从 $v (4 v) + v \cdot 1$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{1}{v (4 v + 1)}$

解题步骤 6.2.1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{v} + \frac{B}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $v (4 v + 1)$ 。

$\frac{1 (v (4 v + 1))}{v (4 v + 1)} = \frac{A (v (4 v + 1))}{v} + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.4

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (v (4 v + 1))}{v (4 v + 1)} = \frac{A (v (4 v + 1))}{v} + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1 (4 v + 1)}{4 v + 1} = \frac{A (v (4 v + 1))}{v} + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.5

约去 $4 v + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (4 v + 1)}{4 v + 1} = \frac{A (v (4 v + 1))}{v} + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.5.2

重写表达式。

$1 = \frac{A (v (4 v + 1))}{v} + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1.6.1

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.6.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (v (4 v + 1))}{v} + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.6.1.2

用 $A (4 v + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A (4 v + 1) + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.6.2

运用分配律。

$1 = A (4 v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.6.3

使用乘法的交换性质重写。

$1 = 4 A v + A \cdot 1 + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.6.4

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$1 = 4 A v + A + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.6.5

约去 $4 v + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.6.5.1

约去公因数。

$1 = 4 A v + A + \frac{B (v (4 v + 1))}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.1.6.5.2

用 $B v$ 除以 $1$ 。

$1 = 4 A v + A + B v$

解题步骤 6.2.1.1.7

化简表达式。

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解题步骤 6.2.1.1.7.1

移动 $A$ 。

$1 = 4 v A + A + B v$

解题步骤 6.2.1.1.7.2

将 $B$ 和 $v$ 重新排序。

$1 = 4 v A + A + B v$

解题步骤 6.2.1.1.7.3

移动 $A$ 。

$1 = 4 v A + B v + A$

解题步骤 6.2.1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 6.2.1.2.1

使方程两边 $v$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 4 A + B$

解题步骤 6.2.1.2.2

使方程两边不含 $v$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A$

解题步骤 6.2.1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = 4 A + B$

$1 = A$

$0 = 4 A + B$

$1 = A$

解题步骤 6.2.1.3

求解方程组。

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解题步骤 6.2.1.3.1

将方程重写为 $A = 1$ 。

$A = 1$

$0 = 4 A + B$

解题步骤 6.2.1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.2.1

使用 $1$ 替换 $0 = 4 A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = 4 (1) + B$

$A = 1$

解题步骤 6.2.1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1.3.2.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$0 = 4 + B$

$A = 1$

$0 = 4 + B$

$A = 1$

$0 = 4 + B$

$A = 1$

解题步骤 6.2.1.3.3

在 $0 = 4 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.3.1

将方程重写为 $4 + B = 0$ 。

$4 + B = 0$

$A = 1$

解题步骤 6.2.1.3.3.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$B = - 4$

$A = 1$

$B = - 4$

$A = 1$

解题步骤 6.2.1.3.4

求解方程组。

$B = - 4 A = 1$

解题步骤 6.2.1.3.5

列出所有解。

$B = - 4, A = 1$

解题步骤 6.2.1.4

将 $\frac{A}{v} + \frac{B}{4 v + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{1}{v} + \frac{- 4}{4 v + 1}$

解题步骤 6.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{v} - \frac{4}{4 v + 1} d v = \int d x$

解题步骤 6.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{4}{4 v + 1} d v = \int d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{v}$ 对 $v$ 的积分为 $\ln (| v |)$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{4}{4 v + 1} d v = \int d x$

解题步骤 6.2.4

由于 $- 1$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{4}{4 v + 1} d v = \int d x$

解题步骤 6.2.5

由于 $4$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\ln (| v |) + C_{1} - (4 \int \frac{1}{4 v + 1} d v) = \int d x$

解题步骤 6.2.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} - 4 \int \frac{1}{4 v + 1} d v = \int d x$

解题步骤 6.2.7

使 $u_{2} = 4 v + 1$ 。然后使 $d u_{2} = 4 d v$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{2} = d v$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.7.1

设 $u_{2} = 4 v + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d v}$ 。

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解题步骤 6.2.7.1.1

对 $4 v + 1$ 求导。

$\frac{d}{d v} [4 v + 1]$

解题步骤 6.2.7.1.2

根据加法法则， $4 v + 1$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [4 v] + \frac{d}{d v} [1]$ 。

$\frac{d}{d v} [4 v] + \frac{d}{d v} [1]$

解题步骤 6.2.7.1.3

计算 $\frac{d}{d v} [4 v]$ 。

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解题步骤 6.2.7.1.3.1

因为 $4$ 对于 $v$ 是常数，所以 $4 v$ 对 $v$ 的导数是 $4 \frac{d}{d v} [v]$ 。

$4 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

解题步骤 6.2.7.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

解题步骤 6.2.7.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d v} [1]$

解题步骤 6.2.7.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.2.7.1.4.1

因为 $1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $1$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 6.2.7.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 6.2.7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| v |) + C_{1} - 4 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 6.2.8

化简。

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解题步骤 6.2.8.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} - 4 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 6.2.8.2

将 $4$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\ln (| v |) + C_{1} - 4 \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 6.2.9

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\ln (| v |) + C_{1} - 4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

解题步骤 6.2.10

化简。

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解题步骤 6.2.10.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 4$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 4}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 6.2.10.2

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.10.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 6.2.10.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.10.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 6.2.10.2.2.2

约去公因数。

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 6.2.10.2.2.3

重写表达式。

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 6.2.10.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 6.2.11

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

解题步骤 6.2.12

化简。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

解题步骤 6.3

应用常数不变法则。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

解题步骤 6.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x + C$

解题步骤 7

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x + C$

解题步骤 7.2

将 $x$ 和 $C$ 重新排序。

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$

解题步骤 7.3

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{C + x}$

解题步骤 7.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C + x} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

解题步骤 7.5

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.5.1

将方程重写为 $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$ 。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$

解题步骤 7.5.2

两边同时乘以 $| u_{2} |$ 。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

解题步骤 7.5.3

化简左边。

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解题步骤 7.5.3.1

约去 $| u_{2} |$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

解题步骤 7.5.3.1.2

重写表达式。

$| v | = e^{C + x} | u_{2} |$

解题步骤 7.5.4

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.5.4.1

将 $e^{C + x} | u_{2} |$ 中的因式重新排序。

$| v | = | u_{2} | e^{C + x}$

解题步骤 7.5.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$v = \pm | u_{2} | e^{C + x}$

解题步骤 8

将常数项组合在一起。

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解题步骤 8.1

重新排序项。

$v = \pm | u_{2} | e^{x + C}$

解题步骤 8.2

将 $e^{x + C}$ 重写为 $e^{x} e^{C}$ 。

$v = \pm | u_{2} | (e^{x} e^{C})$

解题步骤 8.3

将 $e^{x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x})$

解题步骤 8.4

用加号或减号合并常数。

$v = C | u_{2} | e^{x}$

解题步骤 9

使用 $e^{x + y}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$e^{x + y} = C | u_{2} | e^{x}$

解题步骤 10

求解 $y$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x + y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

解题步骤 10.2

展开左边。

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解题步骤 10.2.1

通过将 $x + y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x + y})$ 。

$(x + y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

解题步骤 10.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(x + y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

解题步骤 10.2.3

将 $x + y$ 乘以 $1$ 。

$x + y = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

解题步骤 10.3

展开右边。

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解题步骤 10.3.1

将 $\ln (C | u_{2} | e^{x})$ 重写为 $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$ 。

$x + y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$

解题步骤 10.3.2

将 $\ln (C | u_{2} |)$ 重写为 $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ 。

$x + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x})$

解题步骤 10.3.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \ln (e)$

解题步骤 10.3.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \cdot 1$

解题步骤 10.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x$

解题步骤 10.4

化简右边。

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解题步骤 10.4.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$x + y = \ln (C | u_{2} |) + x$

解题步骤 10.5

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.5.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$y = \ln (C | u_{2} |) + x - x$

解题步骤 10.5.2

合并 $\ln (C | u_{2} |) + x - x$ 中相反的项。

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解题步骤 10.5.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

解题步骤 10.5.2.2

将 $\ln (C | u_{2} |)$ 和 $0$ 相加。

$y = \ln (C | u_{2} |)$

微积分学 示例

微积分学示例