微积分学示例

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(1 + \ln (x)) d x$ 。

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (y)$ ， $d v = 1$ 。

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

组合 $y$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2.4.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1

约去公因数。

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2.4.2.2

重写表达式。

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2.5

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

化简。

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2.6.2

化简。

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解题步骤 2.2.6.2.1

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2.6.2.2

将 $\ln (y) y$ 和 $0$ 相加。

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.2.7

重新排序项。

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

解题步骤 2.3.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1

约去公因数。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

解题步骤 2.3.5.2.2

重写表达式。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

解题步骤 2.3.7

化简。

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

解题步骤 2.3.8

重新排序项。

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$

微积分学 示例

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