微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y} \ln (x)}{x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = 4 \sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (4 \sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3.2

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3.3

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3.6

将 ${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为 $y$ 。

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解题步骤 1.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.3.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.4

组合 $4$ 和 $\frac{\sqrt{y}}{y}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.3.5

组合 $\sqrt{y}$ 和 $\frac{\ln (x)}{x}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} \cdot \frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$

解题步骤 1.3.6

乘以 $\frac{4 \sqrt{y}}{y} \cdot \frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $\frac{4 \sqrt{y}}{y}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y} (\sqrt{y} \ln (x))}{y x}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $\ln (x)$ 和 $4$ 重新排序。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot \ln (x) \sqrt{y} \sqrt{y}}{y x}$

解题步骤 1.3.6.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \cdot \ln (x)$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) \sqrt{y} \sqrt{y}}{y x}$

解题步骤 1.3.6.4

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y x}$

解题步骤 1.3.6.5

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y x}$

解题步骤 1.3.6.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y x}$

解题步骤 1.3.6.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {\sqrt{y}}^{2}}{y x}$

解题步骤 1.3.7

将 ${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为 $y$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y x}$

解题步骤 1.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y x}$

解题步骤 1.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{2}{2}}}{y x}$

解题步骤 1.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.7.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{2}{2}}}{y x}$

解题步骤 1.3.7.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{1}}{y x}$

解题步骤 1.3.7.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y}{y x}$

解题步骤 1.3.8

通过将 $4$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{4})$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x) y}{y x}$

解题步骤 1.3.9

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.9.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x) y}{y x}$

解题步骤 1.3.9.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x)}{x}$

解题步骤 1.3.10

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (x)$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4})}{x}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

解题步骤 2.2.1.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

解题步骤 2.2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

解题步骤 2.2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{\ln (x^{4})}{x}$ 重写为 $\frac{4 \ln (x)}{x}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{4 \ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.3.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.3.3.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 2.3.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int u d u$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $4 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ 重写为 $4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2.2

约去公因数。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2.3

重写表达式。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln^{2} (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $y^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.2

用 $\ln^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln^{2} (x) + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.2

化简。

$y = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = {(\ln^{2} (x) + K)}^{2}$

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