微积分学示例

$y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 2 x + 1 - x y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x + 1 - x y]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $2 x + 1 - x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \cdot 1$

解题步骤 2.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - y$

解题步骤 2.6.2

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 2$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- y + 2$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$1 = - y + 2$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$1 = - y + 2$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- y + 2$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- y + 2 - 1}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $y$ 替换 $M$ 。

$\frac{- y + 2 - 1}{y}$

解题步骤 4.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- y + 1}{y}$

解题步骤 4.3.3

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (y) + 1}{y}$

解题步骤 4.3.4

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (y) - 1 (- 1)}{y}$

解题步骤 4.3.5

从 $- (y) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (y - 1)}{y}$

解题步骤 4.3.6

将 $- (y - 1)$ 重写为 $- 1 (y - 1)$ 。

$\frac{- 1 (y - 1)}{y}$

解题步骤 4.3.7

代入 $y$ 替换 $M$ 。

$- \frac{y - 1}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{y - 1}{y} d y}$

解题步骤 5.2

用 $y - 1$ 除以 $y$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$0$

$y$

$1$

解题步骤 5.2.2

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$1$

解题步骤 5.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$0$

解题步骤 5.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y + 0$ 中的所有符号

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$

解题步骤 5.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$
					-	$1$

解题步骤 5.2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$μ (x, y) = e^{- \int 1 - \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.3

将单个积分拆分为多个积分。

$μ (x, y) = e^{- (\int d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 5.4

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{- (y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 5.5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 5.6

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (y + C - (\ln (| y |) + C))}$

解题步骤 5.7

化简。

$μ (x, y) = e^{- y + \ln (| y |)} + C$

解题步骤 6

在 $y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{- y + \ln (y)}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $y$ 乘以 $e^{- y + \ln (y)}$ 。

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $2 x + 1 - x y$ 乘以 $e^{- y + \ln (y)}$ 。

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) e^{- y + \ln (y)} d y = 0$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + 1 e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $e^{- y + \ln (y)}$ 乘以 $1$ 。

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int y e^{- y + \ln (y)} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = y e^{- y + \ln (y)}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y e^{- y + \ln (y)} x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}]$ 。

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = e^{- y + \ln (y)}$ 。

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y + \ln (y)}] + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = - y + \ln (y)$ 。

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解题步骤 11.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- y + \ln (y)$ 。

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.3.3

使用 $- y + \ln (y)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.4

根据加法法则， $- y + \ln (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ 。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.5

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.7

$\ln (y)$ 对 $y$ 的导数为 $\frac{1}{y}$ 。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.3.10

将 $e^{- y + \ln (y)}$ 乘以 $1$ 。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

运用分配律。

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y}))) + x e^{- y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.5.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y (- 1 + \frac{1}{y}) + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.5.3

化简每一项。

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解题步骤 11.5.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y \cdot - 1 + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.5.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- y + \ln (y)} x y$ 的左侧。

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.5.3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.3.3.1

从 $e^{- y + \ln (y)} x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.5.3.3.2

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.5.3.3.3

重写表达式。

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.5.3.4

将 $- 1 (e^{- y + \ln (y)} x y)$ 重写为 $- (e^{- y + \ln (y)} x y)$ 。

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.5.4

将 $e^{- y + \ln (y)} x$ 和 $e^{- y + \ln (y)} x$ 相加。

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 11.5.5

将 $\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

解题步骤 12.1.2

合并 $- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.1

从 $2 x e^{- y + \ln (y)}$ 中减去 $2 x e^{- y + \ln (y)}$ 。

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 0 - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

解题步骤 12.1.2.2

将 $- x y e^{- y + \ln (y)}$ 和 $0$ 相加。

$- x y e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

解题步骤 12.1.2.3

将 $- x y e^{- y + \ln (y)}$ 和 $x y e^{- y + \ln (y)}$ 相加。

$0 - e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

解题步骤 12.1.2.4

从 $0$ 中减去 $e^{- y + \ln (y)}$ 。

$- e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

解题步骤 12.1.3

因为 $\frac{d g}{d y}$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 12.1.4

将 $- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 12.1.4.1

将 $- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

解题步骤 12.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 12.1.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

解题步骤 12.1.4.2.2

用 $\frac{d g}{d y}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

解题步骤 12.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 12.1.4.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{1}$

解题步骤 12.1.4.3.2

用 $e^{- y + \ln (y)}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

解题步骤 13

求 $e^{- y + \ln (y)}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

解题步骤 13.3

将 $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ 重写为 $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ 。

$g (y) = \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

解题步骤 13.4

将 $e^{\ln (y)}$ 重写为 $y$ 。

$g (y) = \int e^{- y} y d y$

解题步骤 13.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{- y}$ 。

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

解题步骤 13.6

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

解题步骤 13.7

化简。

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解题步骤 13.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

解题步骤 13.7.2

将 $\int e^{- y} d y$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

解题步骤 13.8

使 $u = - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.8.1

设 $u = - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 13.8.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 13.8.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 13.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 13.8.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 13.8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

解题步骤 13.9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

解题步骤 13.10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$g (y) = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

解题步骤 13.11

将 $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ 重写为 $- y e^{- y} - e^{u} + C$ 。

$g (y) = - y e^{- y} - e^{u} + C$

解题步骤 13.12

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$

解题步骤 15

将 $f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = y x e^{- y + \ln (y)} - y e^{- y} - e^{- y} + C$

微积分学 示例

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