微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$ , $y (3) = 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ 是一个特殊积分。该积分是误差函数。

$y + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = erf (x) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $3$ 代入 $x$ ，将 $5$ 代入 $y$ ，在 $y = erf (x) + K$ 中求 $K$ 的值。

$5 = erf (x) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $e r f (x) + K = 5$ 。

$e r f (x) + K = 5$

解题步骤 4.2

将 $e r f$ 乘以 $x$ 。

$e r f x + K = 5$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $e r f x$ 。

$K = 5 - e r f x$

解题步骤 5

代入 $5 - e r f x$ 替换 $y = erf (x) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $5 - e r f x$ 替换 $K$ 。

$y = erf (x) + 5 - e r f x$

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