微积分学示例

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 1.2

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 1.3

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 1.3.2

用 $2 y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 2$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 2 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{2 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{2 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 3.3

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{e^{x}}$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{2 x}}{e^{x}}$

解题步骤 3.4

约去 $e^{2 x}$ 和 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

乘以 $1$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.3

重写表达式。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x}}{1}$

解题步骤 3.4.2.4

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$

解题步骤 3.5

将 $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$ 中的因式重新排序。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{2 x} y = \int e^{x} d x$

解题步骤 7

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{2 x} y = e^{x} + C$

解题步骤 8

将 $e^{2 x} y = e^{x} + C$ 中的每一项除以 $e^{2 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{2 x} y = e^{x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

从 $e^{x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2.4

用 $e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

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