微积分学示例

$(x + 3 y) d x - x d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x + 3 y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 y]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x + 3 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$

解题步骤 1.2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [3 y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - x$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 = - 1$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$3 = - 1$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $3$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $- 1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{3 + 1}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $- x$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $- x$ 替换 $N$ 。

$\frac{3 + 1}{- x}$

解题步骤 4.3.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{- x}$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

解题步骤 5.6.3

去掉 ${| x |}^{- 4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

解题步骤 5.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

解题步骤 6

在 $(x + 3 y) d x - x d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x + 3 y$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$(x + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x - x d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $x + 3 y$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $- x$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 6.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 6.4.2

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.4.3

约去公因数。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.4.4

重写表达式。

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x^{3}} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = - \frac{1}{x^{3}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y + C$

解题步骤 8.2

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}} + g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $- \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{y}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 11.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$- y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.3.8

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 y x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$3 y x^{- 4} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 y \frac{1}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.5.2

合并项。

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解题步骤 11.5.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$y \frac{3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.5.2.2

组合 $y$ 和 $\frac{3}{x^{4}}$ 。

$\frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.5.2.3

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 11.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{x + 3 y}{x^{4}}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} - \frac{x + 3 y}{x^{4}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - (x + 3 y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - (3 y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - 3 y}{x^{4}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

合并 $3 y - x - 3 y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.1.4.1

从 $3 y$ 中减去 $3 y$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{4}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2

将 $- x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{4}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.5.1

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.1.5.1.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2

约去公因数。

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解题步骤 12.1.1.5.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 13

求 $\frac{1}{x^{3}}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 13.3

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 13.4

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 13.4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

解题步骤 13.5

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

解题步骤 13.6

化简答案。

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解题步骤 13.6.1

将 $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ 。

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

解题步骤 13.6.2

化简。

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解题步骤 13.6.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

解题步骤 13.6.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

解题步骤 13.6.2.3

将 $2$ 乘以 $x^{2}$ 。

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

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