微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2} + 2 x$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 2$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 2 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{2 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{2 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$

解题步骤 2.4

将 $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.3.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.4

由于 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

约去公因数。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.5.2.2

重写表达式。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.5.3

将 $\int e^{2 x} (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.7

化简。

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解题步骤 6.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.7.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.9

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.9.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.9.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 6.9.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.9.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.9.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.10

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.12

化简。

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解题步骤 6.12.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.12.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.13

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int 2 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.14

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 6.15

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 6.16

化简。

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解题步骤 6.16.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 6.16.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 6.16.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6.17

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

解题步骤 6.18

使 $u_{2} = 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.18.1

设 $u_{2} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.18.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 6.18.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.18.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.18.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.18.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 6.19

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

解题步骤 6.20

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

解题步骤 6.21

化简。

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解题步骤 6.21.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 6.21.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 6.22

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))$

解题步骤 6.23

化简。

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解题步骤 6.23.1

化简。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

解题步骤 6.23.2

化简。

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解题步骤 6.23.2.1

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

解题步骤 6.23.2.2

要将 $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 6.23.2.3

组合 $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 6.23.2.4

在公分母上合并分子。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 6.23.2.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.24

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 6.24.1

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.24.2

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.25

化简。

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解题步骤 6.25.1

运用分配律。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.25.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.25.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.25.2.2

约去公因数。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.25.2.3

重写表达式。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.25.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.25.3.1

将 $- \frac{e^{2 x}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

解题步骤 6.25.3.2

约去公因数。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

解题步骤 6.25.3.3

重写表达式。

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 6.26

重新排序项。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x}) + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.1.2

化简。

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解题步骤 7.1.2.1

乘以 $\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x})$ 。

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解题步骤 7.1.2.1.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.1.2.1.2

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.2.2.1

从 $2 x e^{2 x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.1.2.2.2

约去公因数。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.1.2.2.3

重写表达式。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 7.1.3

重新排序 $x e^{2 x}$ 的因式。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 7.1.4

从 $e^{2 x} x$ 中减去 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

将 $e^{2 x}$ 和 $x$ 重新排序。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 7.1.4.2

要将 $x e^{2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 7.1.4.3

组合 $x e^{2 x}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 7.1.4.4

在公分母上合并分子。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 7.1.5

在公分母上合并分子。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 7.1.6

将 $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}$ 中的因式重新排序。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 7.1.7

从 $x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 7.1.7.1

从 $x^{2} e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 7.1.7.2

从 $2 x e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 7.1.7.3

从 $- e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

解题步骤 7.1.7.4

从 $e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

解题步骤 7.1.7.5

从 $e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

解题步骤 7.1.8

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{x}{2} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

解题步骤 7.1.9

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

解题步骤 7.2

将 $e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$ 中的每一项除以 $e^{2 x}$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$ 中的每一项都除以 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

合并分数。

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解题步骤 7.2.3.1.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.2.2

化简。

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解题步骤 7.2.3.2.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.2.3

将 $- 1 e^{2 x}$ 重写为 $- e^{2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 7.2.3.3.1

将 $- e^{2 x} x$ 和 $2 e^{2 x} x$ 相加。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{1 e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.3.2

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.3.2.1

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.3.2.2

将 $e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.4.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.4.2.1

从 $x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 7.2.3.4.2.1.1

从 $x e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2.1.2

从 $x^{2} e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2.1.3

从 $- e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2.1.4

从 $e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x + x^{2}) + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2.1.5

从 $e^{2 x} (x + x^{2}) + e^{2 x} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x + x^{2} - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2.2

重新排序项。

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.5

要将 $\frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2} \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.6.1

将 $\frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{2 \cdot 2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.8

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.8.1

从 $e^{2 x} + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 7.2.3.8.1.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.8.1.2

从 $e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} ((x^{2} + x - 1) \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.8.1.3

从 $e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} ((x^{2} + x - 1) \cdot 2)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + (x^{2} + x - 1) \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.8.2

运用分配律。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + x^{2} \cdot 2 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.8.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.8.3.1

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + x \cdot 2 - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.8.3.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x - 2)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.8.4

将 $2$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 x^{2} + 2 x - 2)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.8.5

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.9

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{C \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.10

化简项。

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解题步骤 7.2.3.10.1

组合 $C$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{C \cdot 4}{4} + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.10.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{C \cdot 4 + e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.11

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.11.1

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{4 \cdot C + e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.11.2

运用分配律。

$y = \frac{\frac{4 C + e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.11.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.11.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.11.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.11.3.3

将 $- 1$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.11.4

化简每一项。

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.12

将 $\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{4}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.13

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.14

将 $\frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{e^{2 x}}$ 。

$y = \frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4 e^{2 x}}$

微积分学 示例

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