微积分学示例

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ 中的每一项除以 $x e^{- t}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ 中的每一项都除以 $x e^{- t}$ 。

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $e^{- t}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

解题步骤 1.1.2.2.2

用 $\frac{d x}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $x$ 。

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

合并。

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

解题步骤 1.4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $e^{- t} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

解题步骤 1.4.3

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $e^{- t}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${(e^{- t})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

解题步骤 2.3.1.2.2

乘以 $- t \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

解题步骤 2.3.1.2.2.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

解题步骤 2.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = e^{t}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

解题步骤 2.3.3

$e^{t}$ 对 $t$ 的积分为 $e^{t}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5

重新排序项。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

运用分配律。

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ 中的因式重新排序。

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

解题步骤 3.4

从 $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $2 t e^{t}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

从 $- 2 e^{t}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

从 $2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

解题步骤 3.4.4

从 $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

解题步骤 3.4.5

从 $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

解题步骤 4

由于 $x$ 在初始条件 $(0, 1)$ 中为正，所以只考虑用 $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ 来求 $K$ 。将 $0$ 代入 $t$ ，将 $1$ 代入 $x$ 。

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

解题步骤 5

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ 。

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

解题步骤 5.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 5.3

化简方程的两边。

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解题步骤 5.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ 重写成 ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简 ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 5.3.2.1.3.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3.2

运用分配律。

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3.3

乘。

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解题步骤 5.3.2.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3.3.2

化简。

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

一的任意次幂都为一。

$- 2 + 2 K = 1$

解题步骤 5.4

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.4.1

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.4.1.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$2 K = 1 + 2$

解题步骤 5.4.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 K = 3$

解题步骤 5.4.2

将 $2 K = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $2 K = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 5.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 5.4.2.2.1.2

用 $K$ 除以 $1$ 。

$K = \frac{3}{2}$

解题步骤 6

代入 $\frac{3}{2}$ 替换 $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 6.1

代入 $\frac{3}{2}$ 替换 $K$ 。

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

解题步骤 6.3

要将 $e^{t} t$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

解题步骤 6.4

组合 $e^{t} t$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

解题步骤 6.5

在公分母上合并分子。

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

解题步骤 6.6

将 $2$ 移到 $e^{t} t$ 的左侧。

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

解题步骤 6.7

要将 $- e^{t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

解题步骤 6.8

组合 $- e^{t}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

解题步骤 6.9

在公分母上合并分子。

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

解题步骤 6.10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

解题步骤 6.11

组合 $2$ 和 $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ 。

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

解题步骤 6.12

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.12.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ 。

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解题步骤 6.12.1.1

约去公因数。

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

解题步骤 6.12.1.2

重写表达式。

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

解题步骤 6.12.2

用 $2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ 除以 $1$ 。

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

解题步骤 6.13

将 $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ 中的因式重新排序。

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$

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