微积分学示例

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 3 x y + 3 y - 4$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + 3 y - 4]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $3 x y + 3 y - 4$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [3 x y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x y$ 对 $y$ 的导数是 $3 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [3 y]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

解题步骤 1.4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + \frac{d}{d y} [- 4]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- 4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $3 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = {(x + 1)}^{2}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]$

解题步骤 2.2

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]$

解题步骤 2.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

解题步骤 2.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

解题步骤 2.4.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]$

解题步骤 2.4.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]$

解题步骤 2.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]$

解题步骤 2.4.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{2} + 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + 0$

解题步骤 2.11

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 x + 3$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x + 2$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 x + 3 = 2 x + 2$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$3 x + 3 = 2 x + 2$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $3 x + 3$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{3 x + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $2 x + 2$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 ${(x + 1)}^{2}$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 ${(x + 1)}^{2}$ 替换 $N$ 。

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{3 x + 3 - (2 x) - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $3 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{x + 3 - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.5

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

约去 $x + 1$ 和 ${(x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

从 ${(x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

解题步骤 4.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

解题步骤 4.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x + 1}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 5.1.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

解题步骤 5.3

化简。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

解题步骤 5.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = | u | + C$

解题步骤 5.5

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

解题步骤 6

在 $(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $x + 1$ 。

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解题步骤 6.1

将 $3 x y + 3 y - 4$ 乘以 $x + 1$ 。

$(3 x y + 3 y - 4) (x + 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

解题步骤 6.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(3 x y + 3 y - 4) (x + 1)$ 。

$(3 x y x + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

解题步骤 6.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

移动 $x$ 。

$(3 (x \cdot x) y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

解题步骤 6.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(3 x^{2} y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

解题步骤 6.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

解题步骤 6.3.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $3 x y$ 和 $3 y x$ 相加。

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解题步骤 6.4.1

移动 $y$ 。

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

解题步骤 6.4.2

将 $3 x y$ 和 $3 x y$ 相加。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

解题步骤 6.5

将 ${(x + 1)}^{2}$ 乘以 $x + 1$ 。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} (x + 1) d y = 0$

解题步骤 6.6

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{2}$ 乘以 $x + 1$ 。

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解题步骤 6.6.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 乘以 $x + 1$ 。

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解题步骤 6.6.1.1

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} d y = 0$

解题步骤 6.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2 + 1} d y = 0$

解题步骤 6.6.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{3} d y = 0$

解题步骤 6.7

使用二项式定理。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.8

化简每一项。

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解题步骤 6.8.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.8.2

一的任意次幂都为一。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.8.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.8.4

一的任意次幂都为一。

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]$ 。

$y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3.2

根据加法法则， $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$y (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$y (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$y (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3.9

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.3.11

将 $3 x^{2} + 6 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

运用分配律。

$y (3 x^{2}) + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.5.2

合并项。

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解题步骤 11.5.2.1

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 \cdot y x^{2} + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.5.2.2

将 $6$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 y x^{2} + 6 \cdot y x + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.5.2.3

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 y x^{2} + 6 y x + 3 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 11.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2} y$ 。

$\frac{d g}{d x} + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y$

解题步骤 12.1.2

从等式两边同时减去 $6 x y$ 。

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y$

解题步骤 12.1.3

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$

解题步骤 12.1.4

合并 $3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.4.1

从 $3 x^{2} y$ 中减去 $3 x^{2} y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 + 0 - 6 x y - 3 y$

解题步骤 12.1.4.2

将 $6 x y + 3 y - 4 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 6 x y - 3 y$

解题步骤 12.1.4.3

从 $6 x y$ 中减去 $6 x y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 + 0 - 3 y$

解题步骤 12.1.4.4

将 $3 y - 4 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 - 3 y$

解题步骤 12.1.4.5

从 $3 y$ 中减去 $3 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4 + 0$

解题步骤 12.1.4.6

将 $- 4 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$

解题步骤 13

求 $- 4 x - 4$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 4 x - 4 d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int - 4 x - 4 d x$

解题步骤 13.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int - 4 x d x + \int - 4 d x$

解题步骤 13.4

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$g (x) = - 4 \int x d x + \int - 4 d x$

解题步骤 13.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

解题步骤 13.6

应用常数不变法则。

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

解题步骤 13.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$g (x) = - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

解题步骤 13.8

化简。

$g (x) = - 2 x^{2} - 4 x + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y - 2 x^{2} - 4 x + C$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

运用分配律。

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + 1 y - 2 x^{2} - 4 x + C$

解题步骤 15.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + y - 2 x^{2} - 4 x + C$

微积分学 示例

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