微积分学示例

$(3 x^{2} + 6 x y^{2}) d x + (6 x^{2} y + 4 y^{3}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 6 x y^{2}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} + 6 x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $3 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $6 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $6 x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x (2 y)$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 12 x y$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $12 x y$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y + 4 y^{3}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $6 x^{2} y + 4 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $6 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

解题步骤 2.4

因为 $4 y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y^{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $12 y x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x$

解题步骤 2.5.2

重新排序 $12 y x$ 的因式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $12 x y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $12 x y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$12 x y = 12 x y$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$12 x y = 12 x y$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 6 x y^{2} d x$

解题步骤 5

对 $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

解题步骤 5.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

解题步骤 5.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 6 x y^{2} d x$

解题步骤 5.4

由于 $6 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6 y^{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} \int x d x$

解题步骤 5.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.6

化简。

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.7

化简。

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解题步骤 5.7.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = 1 x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.4

组合 $6$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} \frac{6}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.5

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{6}{2}$ 。

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y^{2} \cdot 6}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.6

将 $6$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.7

将 $6$ 乘以 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 y^{2}}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.8

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.8.1

从 $6 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.8.2

约去公因数。

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解题步骤 5.7.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 (1)} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.8.2.2

约去公因数。

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.8.2.3

重写表达式。

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{1} x^{2} + C$

解题步骤 5.7.8.2.4

用 $3 y^{2}$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + C$

解题步骤 6

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

解题步骤 8.2

求微分。

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解题步骤 8.2.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

解题步骤 8.2.2

因为 $x^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{3}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $3 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 y^{2} x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 3 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

解题步骤 8.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

将 $0$ 和 $6 x^{2} y$ 相加。

$6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

解题步骤 8.5.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + 6 x^{2} y = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $6 x^{2} y$ 。

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 x^{2} y$

解题步骤 9.1.2

合并 $6 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 x^{2} y$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $6 x^{2} y$ 中减去 $6 x^{2} y$ 。

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $4 y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$

解题步骤 10

求 $4 y^{3}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{3} d y$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 4 y^{3} d y$

解题步骤 10.3

由于 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$g (y) = 4 \int y^{3} d y$

解题步骤 10.4

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$g (y) = 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

解题步骤 10.5

化简答案。

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解题步骤 10.5.1

将 $4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ 重写为 $4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ 。

$g (y) = 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

解题步骤 10.5.2

化简。

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解题步骤 10.5.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

解题步骤 10.5.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.2.2.1

约去公因数。

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

解题步骤 10.5.2.2.2

重写表达式。

$g (y) = 1 y^{4} + C$

解题步骤 10.5.2.3

将 $y^{4}$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = y^{4} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + y^{4} + C$

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