微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 x (1 + x^{2} - y)$

解题步骤 1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- y)$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $2 x (- y)$ 。

$\frac{d y}{d x} - 2 x (- y) = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

解题步骤 1.3

重新排序项。

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 1 \cdot 2 x + 2 x^{2} x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 2 \cdot - 1 x$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 2 \cdot - 1 x d x}$

解题步骤 2.2

对 $- 2 \cdot - 1 x$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{\int 2 x d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int x d x}$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

解题步骤 2.2.4

化简答案。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

解题步骤 2.2.4.2

化简。

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解题步骤 2.2.4.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 2.2.4.2.2.2

重写表达式。

$e^{1 x^{2} + C}$

解题步骤 2.2.4.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x^{2} + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{x^{2}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{x^{2}}$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (- 2 \cdot - 1 x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

解题步骤 3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

解题步骤 3.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x)$

解题步骤 3.3.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x^{1})$

解题步骤 3.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{2 + 1}$

解题步骤 3.3.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$

解题步骤 3.4

将 $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

解题步骤 7.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{x^{2}} y = 2 \int x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

解题步骤 7.3

使 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.3.1

设 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.3.1.1

对 $e^{x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

解题步骤 7.3.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 7.3.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 7.3.1.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 7.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x^{2}} (2 x)$

解题步骤 7.3.1.4

化简。

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解题步骤 7.3.1.4.1

重新排序 $e^{x^{2}} (2 x)$ 的因式。

$2 e^{x^{2}} x$

解题步骤 7.3.1.4.2

将 $2 e^{x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$2 x e^{x^{2}}$

解题步骤 7.3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{2} d u_{2} + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

解题步骤 7.4

应用常数不变法则。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

解题步骤 7.5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

解题步骤 7.6

使 $u_{3} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{3} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = x d x$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 7.6.1

设 $u_{3} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.6.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 7.6.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 7.6.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.7

化简。

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解题步骤 7.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{2}$ 。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{3}$ 。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3}}{2} e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 7.7.3

组合 $\frac{u_{3}}{2}$ 和 $e^{u_{3}}$ 。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3} e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 7.9

化简。

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解题步骤 7.9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 7.9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.9.2.1

约去公因数。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 7.9.2.2

重写表达式。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 1 \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 7.9.3

将 $\int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 7.10

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u_{3}$ ， $dv = e^{u_{3}}$ 。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 7.11

$e^{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $e^{u_{3}}$ 。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - (e^{u_{3}} + C)$

解题步骤 7.12

化简。

$e^{x^{2}} y = u_{2} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

解题步骤 7.13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 7.13.1

使用 $e^{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

解题步骤 7.13.2

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$

解题步骤 7.14

化简。

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解题步骤 7.14.1

从 $e^{x^{2}}$ 中减去 $e^{x^{2}}$ 。

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + 0 + C$

解题步骤 7.14.2

将 $x^{2} e^{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$

解题步骤 8

将 $e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ 中的每一项除以 $e^{x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ 中的每一项都除以 $e^{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

约去 $e^{x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y = x^{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

微积分学 示例

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