微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y^{2} d y = \frac{x - 1}{3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int \frac{x - 1}{3} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x - 1}{3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int x d x + \int - 1 d x)$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x)$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - x) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

运用分配律。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

合并。

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.5.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2

约去公因数。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.3

重写表达式。

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.2.1

将 $- \frac{x}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.2

约去公因数。

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.3

重写表达式。

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} - x + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$

解题步骤 3.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要将 $- x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

解题步骤 3.4.2

化简项。

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解题步骤 3.4.2.1

组合 $- x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 3 K}$

解题步骤 3.4.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

解题步骤 3.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $x^{2} - x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

解题步骤 3.4.3.1.2

从 $- x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

解题步骤 3.4.3.1.3

从 $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

解题步骤 3.4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K}$

解题步骤 3.4.4

要将 $3 K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.4.5

化简项。

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解题步骤 3.4.5.1

组合 $3 K$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.4.5.2

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2) + 3 K \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.4.6

化简分子。

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解题步骤 3.4.6.1

运用分配律。

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.4.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.4.6.3

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 3 K \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.4.6.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$

解题步骤 3.4.7

将 $\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

解题步骤 3.4.8

将 $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.9

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.9.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.9.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.4.9.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

解题步骤 3.4.9.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.9.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.4.9.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.4.9.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.9.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.9.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.9.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.4.9.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 3.4.10

化简分子。

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解题步骤 3.4.10.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

解题步骤 3.4.10.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

解题步骤 3.4.11

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.4.11.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$

解题步骤 3.4.11.2

将 $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + 6 K)}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$

微积分学 示例

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